什麼是角平分線定理？
角平分線定理是歐幾里得幾何中的經典結論。在三角形 ABC 中，若 A 角的平分線交對邊 BC 於 D 點，便會把這條邊切成 BD 與 DC 兩段，而這兩段的長度恰好與構成該角的兩條鄰邊成比例。以公式表示就是 ((BD) ÷ (DC)) = ((AB) ÷ (AC))。只要你知道三個相關邊長，這個計算器就能算出每一段的確切長度。
如何使用本計算器
請輸入鄰近頂點 B 的邊 AB、鄰近頂點 C 的邊 AC，以及被分割的對邊 BC 的完整長度。計算器會回傳 BD 段（從 B 到平分線交點 D）的長度、DC 段（從 D 到 C）的長度，以及 AB:AC 的比例。BD 與 DC 兩段相加，永遠等於 BC。
公式解析
由於平分線是依鄰邊比例來分割 BC，因此可得
這兩個式子是直接由比例 ((BD) ÷ (DC)) = ((AB) ÷ (AC)) 搭配 BD + DC = BC 推導而來。值得注意的是，計算時並不需要平分線本身的長度——決定比例的只有兩條鄰邊。
範例演算
假設 AB = 8、AC = 4、BC = 9。兩鄰邊之和 AB + AC = 12。則
驗算：6 + 3 = 9 = BC，且比例 6:3 = 2:1，正好與 AB:AC = 8:4 = 2:1 吻合。角平分線會在靠近較短鄰邊的那一側切分對邊。
跨不同三角形的線段分割
角平分線定理將對邊 BC 分成兩部分：BD 和 DC，其長度的比例遵循兩條相鄰邊 AB:AC 的比例。當兩條相鄰邊相等時，平分線恰好落在中點；邊的差異越大，足部 D 越被推向較短邊。下表列舉了三個代表性案例。
| 情況 | AB | AC | BC | BD | DC | AB : AC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 均衡（等腰） | 6 | 6 | 10 | 5 | 5 | 1 : 1 |
| 中等 | 8 | 4 | 9 | 6 | 3 | 2 : 1 |
| 傾斜 | 10 | 2 | 6 | 5 | 1 | 5 : 1 |
對於中等情況的推導驗證：當 AB = 8、AC = 4、BC = 9 時，
兩條線段相加回原值：BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC，且比例 BD:DC = 6:3 = 2:1 與 AB:AC = 8:4 = 2:1 相符，證實了該定理。
關鍵術語與變數
- 三角形 ABC — 三個頂點標記為 A、B 和 C 的三角形。本工具中的平分線從頂點 A 繪製到對邊 BC。
- 頂點 A — 角平分線被繪製的角。在 A 處的內角（角 \angle BAC）是被分成兩個相等部分的角。
- 角平分線 — 將一個角分成兩個相等角的直線或線段。從 A 出發的平分線將 \angle BAC 分成兩個等量角。
- 點 D（平分線的足點） — 從 A 出發的平分線與對邊 BC 相交的點。對於內部平分線，它位於 B 和 C 之間。
- 線段 BD — 邊 BC 從頂點 B 到足點 D 的部分。它與相鄰邊 AB 成比例。
- 線段 DC — 邊 BC 從足點 D 到頂點 C 的部分。它與相鄰邊 AC 成比例。一起，BD + DC = BC。
- AB : AC 比例 — 與頂點 A 相鄰的兩條邊的比例。角平分線定理指出 \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}，因此此比例直接控制 BC 如何被分割。
- 內部與外部平分線 — 內部平分線分割內角並在 B 和 C 之間與 BC 相交（本文處理的情況）。外部平分線分割補充外角，並在線段外與線 BC 相交，以相同的比例 AB:AC 進行外分。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
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📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
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🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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