什麼是反正弦（Sin⁻¹）計算機？
反正弦寫作 \sin^{-1}(x) 或 \arcsin(x)，是正弦函數的反函數。當你給定一個介於 -1 與 1 之間的比值 x，它會回傳一個角度 θ，使得這個角度的正弦值正好等於 x。本計算機會立即將該角度同時以「度」與「弧度」兩種單位呈現。
使用方式
只要輸入 -1 ≤ x ≤ 1 範圍內的任意數值 x，計算機就會算出
θ = \arcsin(x)
超出此範圍的數值在實數中沒有對應的反正弦，因此輸入會自動被限制在有效區間內。為方便對照，結果會同時以度數與弧度顯示。
公式說明
反正弦的主值定義在 [-1, 1] 這個定義域上，輸出的角度（主值角）落在 [-90°, 90°]，也就是 [-π/2, π/2] 弧度。計算機在內部以弧度計算，再透過
θ_{deg} = θ_{rad} × ((180) ÷ (π))
換算為度數。
實例演算
假設 x = 0.5。正弦值為 0.5 的角度是 30°。換算成弧度，
\arcsin(0.5) = ((π) ÷ (6)) ≈ 0.523599 弧度
同樣地，\arcsin(1) = 90° = π/2 ≈ 1.570796 弧度，而 \arcsin(0) = 0°。
關鍵術語與定義
- 反正弦 / 反正弦函數
- 正弦函數的反函數。給定比值 x，\arcsin(x) 返回角度 θ 使得 \sin(θ) = x。它「反轉」正弦操作。
- 主值
- 因為正弦是週期性的，無窮多個角度擁有相同的正弦值。為了使反正弦成為良定義的函數，它返回一個單一的標準答案稱為主值，取自範圍 [-90^\circ, 90^\circ]。
- 定義域
- 反正弦的有效輸入集合：-1 ≤ x ≤ 1。超出此區間的值沒有實數反正弦，因為正弦永遠不超過 1 或低於 -1。
- 值域
- 可能輸出的集合：[-\tfrac{π}{2}, \tfrac{π}{2}] 弧度，等價於 [-90^\circ, 90^\circ]。每個反正弦結果都落在此範圍內。
- 弧度 vs. 度
- 測量角度的兩個單位。完整圓是 360^\circ 或 2π 弧度，所以 180^\circ = π 弧度。轉換公式為 弧度 = 度×\tfrac{π}{180}。弧度是微積分和大多數程式設計語言的預設單位。
- 記號：\sin^{-1}(x) vs. (\sin x)^{-1}
- 上標 -1 在 \sin^{-1}(x) 中表示反函數（反正弦），不是倒數。相比之下，(\sin x)^{-1} = \tfrac{1}{\sin x} = \csc x，即餘割。這些是不同的操作，所以括號很重要。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 \(x\) 必須介於 -1 與 1 之間？
因為任何實數角度的正弦值永遠落在 -1 到 1 之間，所以沒有任何實數角度的正弦值會超出這個範圍。
答案的範圍是多少？
反正弦的主值會回傳 \(-90°\) 到 \(90°\)（即 \(-\pi/2\) 到 \(\pi/2\) 弧度）之間的角度。
要如何把結果換算成弧度？
計算機已同時顯示兩種單位；若要手動換算，將度數乘以 \(\pi/180\) 即可。