什麼是兩曲線之間的面積？
兩曲線 f(x) 與 g(x) 在區間 [a, b] 上的面積，指的是兩條圖形之間所圍成的整個區域。以數學式來表示，它等於兩函數差的絕對值之定積分，即
計算機怎麼用
請以 x 為變數輸入每一條函數，例如 x^2、2*x+1、sin(x) 或 4-x^2。接著填入下限 a 與上限 b，即可讀取面積結果。本工具支援 + − * / ^、括號、常數 pi 與 e，以及 sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、abs 等函數。你不需要事先判斷哪一條曲線在上方——絕對差值會自動為你處理。
公式詳解
若在 [a, b] 上處處滿足 f(x) ≥q g(x)，面積就單純等於 \int_{a}^{b} (f - g) dx。當兩曲線交叉時，差值的正負號會改變，因此我們改用絕對值來積分，避免正負相消。本計算機會在數千個取樣點上計算被積函數，並採用複合辛普森法（Simpson's rule，n = 2000），對平滑函數能提供極高的精確度。
範例演練
求直線 y = x 與拋物線 y = x^2 在 [0, 1] 上的面積。在此區間內 x ≥q x^2，因此
如何手工計算兩條曲線之間的面積
曲線 f(x) 和 g(x) 在 [a,b] 上的面積是它們之間絕對垂直距離的積分。因為曲線在交點處可能會互換位置，你不能盲目地積分 f-g — 這會導致符號相消。遵循以下步驟：
- 找到交點。求解 f(x)=g(x) 得到 x，只保留落在 [a,b] 内的解。這些是上下曲線互換角色的點。
- 確定每個子區間上的上方曲線。在相鄰交點之間，差值 f-g 保持一個符號。在每段選擇一個測試點並計算 f-g：如果為正，f 在上方；如果為負，g 在上方。
- 在交點處分割積分。如果曲線在 c 處相交且 a
- 在每段上積分（上方 − 下方）。在每個子區間上，將較大的函數放在前面，使被積函數為非負：
A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(上方(x)-下方(x)\big) dx. - 對各段面積求和。加總這些部分：A = \sum_i A_i。每個 A_i≥ 0，所以沒有相消。
符號處理的細節：緊湊公式 A=\int_a^b |f(x)-g(x)| dx 是精確的，但當曲線相交時 \int_a^b (f-g) dx 不是面積。例如，如果 f-g 在寬度為 1 的區間上為 +2，在下一個寬度為 1 的區間上為 -2，原始帶符號的積分給出 2+(-2)=0，而真實面積是 |2|+|-2|=4。在交點處分割並對每段取正值，正是絕對值所做的。
關鍵術語
- 定積分
- 值 \int_a^b h(x) dx，表示從 x=a 到 x=b 時 h 的圖像與 x 軸之間的淨帶符號面積。
- 被積函數
- 被積分的函數。對於曲線之間的面積，被積函數是差值 f(x)-g(x)（或其絕對值）。
- |f − g|（絕對差）
- 每個 x 處曲線之間的非負垂直間隙。使用絕對值可保證積分測量幾何面積，而不會使正負區域相消。
- 交點 / 交叉點
- 一個 x 值，其中 f(x)=g(x)；曲線相接或互換上下位置。積分必須在 [a,b] 內的任何交點處分割。
- 界限 a 和 b
- 積分的下限和上限，定義測量面積的水平區間。
- 上方 / 下方曲線
- 在給定的子區間上，上方曲線有更大的 y 值；面積被積函數是（上方 − 下方），因此保持非負。
- 複合辛普森法則
- 一種數值積分方法，通過在子區間對上擬合拋物線來近似 \int_a^b h dx；當被積函數沒有簡單的反導數時使用。
- 平方單位
- 面積結果的維度單位。由於面積結合了水平長度和垂直長度，答案以單位的平方表示。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
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📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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