什麼是畢氏三元數？
畢氏三元數是指滿足畢氏定理 a^2 + b^2 = c^2 的三個正整數 (a, b, c)。最為人熟知的例子就是 (3, 4, 5)，因為 9 + 16 = 25。這個計算器能依據古典的歐幾里得公式，從兩個起始整數自動產生這類三元數。
產生器使用方式
請輸入兩個正整數 m 與 n，並確保 m 大於 n（兩者皆至少為 1，且 m 至少為 2）。按下計算後，工具會回傳三元數 (a, b, c)，並附上所使用的 m 與 n 值。兩股會經過排序，較短的一股會先顯示。
公式詳解
歐幾里得公式指出：對任意整數 m > n > 0，數值
≤ft(a, b, c\right) = ≤ft(m^2 - n^2,\ \ 2 m n,\ \ m^2 + n^2\right)
必定構成一組畢氏三元數。當 m 與 n 互質且並非同為奇數時，所得結果為「本原三元數」（無法再以公因數約分的三元數）；否則該三元數即為某個本原三元數的整數倍。
\begin{gathered} a^2 + b^2 = c^2 \\[1.5em] where ≤ft{ \begin{aligned} a &= m^2 - n^2 \\ b &= 2 m n \\ c &= m^2 + n^2 \end{aligned} \right. \end{gathered}
實例演算
令 m = 2、n = 1，則 a = 4 - 1 = 3，b = 2 × 2 × 1 = 4，c = 4 + 1 = 5，結果為 (3, 4, 5)。驗算：
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
若改取 m = 3、n = 2，則 a = 5、b = 12、c = 13，正是廣為人知的 (5, 12, 13)。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 \(m\) 一定要大於 \(n\)？
若 \(n \geq m\)，則股 \(a = m^2 - n^2\) 將為零或負值，無法作為有效的邊長。
這個公式能產生所有三元數嗎？
歐幾里得公式能將每一組本原三元數恰好產生一次（只要 \(m\)、\(n\) 互質且奇偶性相異），而所有三元數都會以其整數倍的形式出現。
\((a, b, c)\) 和 \((b, a, c)\) 是同一組嗎？
兩股可以互換；本工具為了統一格式，一律將較短的股放在前面顯示。