這個計算器的用途
本工具可針對指定的量子數 n，在一段位置 x 範圍內計算並繪製一維量子諧振子（QHO）的波函數 \psi_n(x)。量子諧振子是量子力學中最重要、也能精確求解的模型之一，可用來描述分子的振動、固體中的聲子，以及電磁場的各種模態。這些波函數正是漢密頓量（Hamiltonian）的本徵態，對應的能量為 E_n = \hbar\omega≤ft(n + \tfrac{1}{2}\right)。
單位慣例
為了讓結果維持純數值形式，位置 x 一律以無因次的「振子長度」為單位來量測，這相當於將參數 \alpha = √(m\omega/\hbar) 設為 1。採用這項設定後，就不需要提供質量、角頻率或 \hbar 的數值，你只要輸入 n 與 x 的取樣參數即可。能量則以 \hbar\omega 為單位呈現，因此 E_n 直接等於 n + \tfrac{1}{2}。
計算公式
歸一化後的本徵函數為
其中歸一化常數 N_n = \sqrt{1 / (2^{n} n! √(π))}，而 H_n 為物理學家慣用的厄米多項式（Hermite polynomial）。厄米多項式可由穩定的遞迴關係建立：H_0 = 1、H_1 = 2x，以及 H_{k+1} = 2x H_k - 2k H_{k-1}。為避免在 n 較大時發生數值溢位，歸一化常數會在對數域中計算。
使用方式
請輸入量子數 n（0、1、2 ……）、起始位置 x、步長，以及要取樣的點數。計算器會針對每個 i 計算 x_i = startX + i·stepX，並回傳各點的 \psi 值，同時繪出 \psi(x) 對 x 的圖形。預設值（起點 -4、步長 0.1、共 81 點）會將 x 由 -4 掃描到 +4。
實例演算
以 n = 1、x = 1.0 為例：N_1 = \sqrt{1/(2√(π))} = 0.5311259，H_1(1) = 2.0，e^{-0.5} = 0.6065307。因此
n = 1 的狀態在 x = 0 處有一個節點，此時 \psi_1(0) = 0。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。