什麼是夏農熵？
夏農熵（Shannon entropy）用來衡量一個隨機變數平均蘊含的不確定性、意外程度或資訊量。這個概念由克勞德·夏農（Claude Shannon）於 1948 年提出，是資訊理論的基石。當採用以 2 為底的對數時，熵的單位是位元（bit）。熵為 1 位元，正好相當於擲一枚公正硬幣所帶來的不確定性。
如何使用本計算器
請以逗號或空格分隔，輸入每個可能結果的機率（例如 0.5, 0.25, 0.25）。你也可以直接輸入原始的頻率或次數（例如 10, 5, 5）——計算器會自動將每個數值除以總和，把它們正規化成機率。數值為零或負數的項目會被忽略。完成後，工具會回傳以位元計算的熵值、可能的最大熵，以及這個分布的效率。
公式說明
熵的計算方式為
H = -\sum_{i=1}^{n} p_i \log_2 p_i
對每一個結果 i 加總。每一項都是以該結果出現的頻率 p_i，去加權它所帶來的資訊量 -\log_2(p_i)。罕見事件攜帶較多資訊；而必然發生的事件（p_i = 1）則完全不帶資訊。對 n 個結果而言，最大熵為 \log_2(n)，當所有結果機率相等時即可達到。效率則是把 H 表示為最大熵的百分比。其中 p_i = ((x_i) ÷ (\sum_{j=1}^{n} x_j))
實際範例
以分布 {0.5, 0.25, 0.25} 為例，其熵為：
-[0.5·\log_2(0.5) + 0.25·\log_2(0.25) + 0.25·\log_2(0.25)] = -[0.5·(-1) + 0.25·(-2) + 0.25·(-2)] = 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1.5 位元
3 個結果的最大熵為 \log_2(3) ≈ 1.585 位元，因此效率約為 94.64%。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼用位元（bit）？
採用以 2 為底的對數，可得到以位元為單位的熵，這正是數位資訊最自然的單位。若以 \(e\) 為底，單位為「奈特（nats）」；以 10 為底則為「哈特利（hartleys）」。
我的機率一定要加總為 1 嗎？
不需要——計算器會自動將任何正值正規化，所以你可以直接貼上原始次數。
最大熵是多少？
對 \(n\) 個等機率的結果而言，最大熵等於 \(\log_2(n)\)。一枚公正硬幣（\(n=2\)）的最大熵為 1 位元；一顆公正骰子（\(n=6\)）則約為 2.585 位元。