細桿質心計算器的用途
本計算器用於求一根長度為 L 的細直桿的質心，從桿在 x = 0 處的一端量起。它支援兩種情形。對於均勻桿（密度固定），質心恰好位於中點 L/2 處。對於密度線性變化的桿，其密度由 λ(x) = λ₀ + kx 描述，計算器會對密度分布進行積分，精確定位平衡點，同時給出桿的總質量、遠端處的密度，以及質心沿桿所在的位置（以 L 的分數與百分比表示）。
使用方法
- 選擇桿的類型：均勻密度或密度線性變化。
- 輸入桿長 L。標籤使用公尺，但任何長度單位皆適用——結果會以你輸入的相同單位給出。
- 對於密度線性變化的桿，輸入 λ₀（x = 0 端處的線密度，單位 kg/m）與 k（密度梯度，單位 kg/m²）。若桿沿長度方向變輕，則 k 取負值；密度在整根桿上必須保持非負。
- 點擊「計算」。主要結果是從 x = 0 端量起的質心位置 x̄，對於非均勻桿還會一併給出總質量與位置明細。
公式解析
對於沿 x 軸從 0 延伸到 L、線質量密度為 λ(x) 的任意細桿，質心即為按質量加權的平均位置：
均勻桿。當 λ 固定時，它在比值中被約去，剩下大家熟悉的中點結果：
密度線性變化。取 λ(x) = λ₀ + kx，分母（總質量 M）與分子（質量對 x = 0 的一階矩）都可積成閉合形式：
以一階矩除以質量即得質心：
當 k > 0 時，桿在靠近 x = L 一側較重，因此 x̄ 落在中點之後；當 k < 0 時，則向 x = 0 偏移。令 k = 0，此表達式如預期般退回 L/2。
範例演算
取一根長度 L = 2 m 的桿，其密度從一端的 λ₀ = 2 kg/m 起、以梯度 k = 3 kg/m² 增長，於是 λ(x) = 2 + 3x，遠端密度為 2 + 3·2 = 8 kg/m。
總質量：M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg。
一階矩：λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m。
質心：x̄ = 12 / 10 = 距輕端 1.2 m——即位於桿全長的 60% 處，越過 1 m 處的中點，這與一根遠端最重的桿完全符合預期。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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