什麼是廣義帕累托分布？
廣義帕累托分布（Generalized Pareto Distribution，簡稱 GPD）是一種連續型機率分布，廣泛應用於極值理論，用來建模分布的尾端、超過某門檻值的超額量，以及金融、水文學與可靠度工程中常見的厚尾現象。此分布由三個參數描述：位置參數 \mu、尺度參數 \sigma（必須為正值），以及控制尾端厚薄程度的形狀參數 \xi。它是一項純粹的數學工具，不涉及任何地區或司法管轄範圍。
如何使用本計算器
首先選擇您要計算的函數：機率密度函數（PDF）、下累積分布（CDF），或上累積存活函數。接著輸入三個參數 \mu、\sigma 與 \xi。然後透過起始值、步進增量與計算點數來定義 x 序列。計算器會產生一份 (x, y) 數值對的表格與一張折線圖，並另外列出第一個 x 處的單一函數值，方便您快速參考。
公式說明
令 B = 1 + \xi (x - \mu)/\sigma。當 \xi 不為零時，密度函數為
f(x) = ((1) ÷ (\sigma))≤ft(1 + \xi ((x - \mu) ÷ (\sigma))\right)^{-((1) ÷ (\xi)) - 1}, \qquad x ≥ \mu
CDF 為 F(x) = 1 - ≤ft(1 + \xi ((x - \mu) ÷ (\sigma))\right)^{-((1) ÷ (\xi))}, \qquad x ≥ \mu
存活函數則為 Q(x) = ≤ft(1 + \xi ((x - \mu) ÷ (\sigma))\right)^{-((1) ÷ (\xi))}, \qquad x ≥ \mu
其中 Q = B^{-1/\xi} = 1 - P。當 \xi 等於零時，分布退化為指數形式：f(x) = (1/\sigma) \exp(-(x-\mu)/\sigma)，且 P(x) = 1 - \exp(-(x-\mu)/\sigma)。當 \xi ≥ 0 時，定義域為 x ≥ \mu；當 \xi < 0 時，定義域為 \mu ≤ x ≤ \mu - \sigma/\xi。在定義域之外，密度為 0，而 P 與 Q 則固定為其邊界值。
實例演算
以 CDF 為例，取 \mu = 1、\sigma = 1、\xi = 1，並在 x = 2 處計算。則
B = 1 + 1·((2-1) ÷ (1)) = 2
因此 P = 1 - 2^{-1} = 0.5。同一點的 PDF 為 2^{-2} = 0.25，存活函數為 Q = 2^{-1} = 0.5，驗證了 P + Q = 1。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 sigma 必須為正值？
\(\sigma\) 是尺度參數，會作為多個項的除數；若取非正值在數學上沒有定義，因此本工具會加以防範。
當 xi = 0 時會發生什麼？
此時 GPD 會變成指數分布。當 \(|\xi|\) 小於一個極小的 epsilon 時，計算器會自動切換為指數公式，以避免發生除以零的情況。
我可以由大到小掃描 x 嗎？
可以。只要將步進增量設為負值，即可依遞減順序計算各個 \(x\) 值。