什麼是幾何分布？
幾何分布用來描述在一連串獨立試驗中，「首次成功之前出現多少次失敗」的機率模型，其中每次試驗的成功機率皆相同，記為 p。本計算機採用「首次成功前的失敗次數」這套定義，因此隨機變數 x 的取值為 0、1、2、…，而其機率質量函數為 f(x,p) = p(1-p)^{x}。請留意：另一種常見的定義方式是計算首次成功落在第幾次試驗 k（k = 1, 2, …），那並非本工具所採用的版本；兩者之間的關係為 x = k - 1。
如何使用本計算機
請輸入首次成功前的失敗次數 x（一個非負整數），以及每次試驗的成功機率 p（介於 0 與 1 之間的數值）。本工具會回傳機率質量 f(x,p)、下累積機率 P(X ≤ x)、上累積機率 P(X ≥ x)，以及平均值（失敗次數的期望值）。
公式說明
令 q = 1 - p。機率質量為
f(x,p) = p· q^{x}
下累積和經過級數相消後可化簡為 P(X ≤ x) = 1 - q^{x+1}
上尾機率為 P(X ≥ x) = q^{x}
平均值為 E[X] = ((1 - p) ÷ (p))
一個實用的恆等式是 P(X ≤ x) + P(X ≥ x) = 1 + f(x,p)，因為上下兩側的尾端都把點 x 算進去了一次。
實例演算
假設 x = 2、p = 0.4（因此 q = 0.6）：
f(2, 0.4) = 0.4 · 0.6^{2} = 0.4 · 0.36 = 0.144
下累積機率 P(X ≤ 2) = 1 - 0.6^{3} = 1 - 0.216 = 0.784
上累積機率 P(X ≥ 2) = 0.6^{2} = 0.36
平均值 = 0.6/0.4 = 1.5。驗算：0.784 + 0.36 - 0.144 = 1.000。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
x 有沒有把成功的那一次試驗算進去？
沒有。這裡的 x 只計算首次成功之前的失敗次數，因此 x 從 0 開始。如果你手上的是首次成功的試驗序號 k，請改用 \(x = k - 1\) 來換算。
當 p = 1 時會發生什麼事？
第一次試驗就保證成功：\(f(0,1) = 1\)，當 \(x \ge 1\) 時 \(f(x,1) = 0\)，平均值為 0。
為什麼當 p = 0 時平均值沒有定義？
如果沒有任何一次試驗會成功，失敗次數的期望值就是無限大，因此公式 \((1 - p)/p\) 會出現除以零的情況。