什麼是重力時間膨脹？
根據愛因斯坦的廣義相對論，重力場越強，時鐘走得越慢。深陷在大質量天體重力井中的時鐘，會比遠方一個一模一樣的時鐘走得慢。本計算器採用史瓦西解來量化這個效應：只要輸入天體質量、你與天體中心的距離，以及遠方觀測者經過的時間，就能算出靠近質量處所經歷的固有時間。
如何使用
請輸入三個數值：產生重力的天體質量（以公斤為單位）、與天體中心的徑向距離 r（以公尺為單位），以及遠方經過的時間（以秒為單位）。工具會輸出固有時間 t_0、無量綱的膨脹因子，以及兩個時鐘之間的差異。輸入時可使用科學記號，例如 5.972e24。
公式解析
核心方程式為
t_0 = Time far \sqrt{1 - ((2G Mass) ÷ (Radius c^{2}))}
其中 G = 6.67430×10^{-11}\ N·m^2/kg^2，c = 299,792,458\ m/s。其中 ((2GM) ÷ (c^2)) 即為史瓦西半徑。當 r 趨近史瓦西半徑時，平方根內的項會趨近於零，對遠方觀測者而言時間幾乎停止——這正標示出黑洞的事件視界。
範例計算
以地球為例（M = 5.972×10^{24}\ kg），在地表（r = 6,371,000\ m）時，((2GM) ÷ (rc^2)) ≈ 1.39×10^{-9}。膨脹因子約為 0.9999999993，因此遠方每經過 1 秒，地表時鐘大約只記錄 0.9999999993 秒——每秒約相差 7×10^{-10} 秒，一年累積下來可達數十微秒。這也正是 GPS 衛星必須校正相對論效應的原因。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
在重力場中，時鐘走得比較快還是比較慢？
比較慢。越深入重力井，相對於遠方的時鐘走得越慢。
如果 \(r\) 小於史瓦西半徑會怎樣？
此時平方根內的項會變成負值；計算器會把膨脹因子限制為 0，因為一旦進入事件視界內部，標準的外部公式便不再適用。
這屬於狹義還是廣義相對論？
這是重力（廣義相對論）造成的時間膨脹，與速度造成的狹義相對論時間膨脹是不同的兩回事。