這個計算器的功能
本工具用來計算類氫原子中電子的束縛態波函數，也就是單一電子環繞點電荷核（電荷 Z）時，定態薛丁格方程式的精確解。完整波函數可拆解為徑向部分與角度部分：\Psi(r, θ, \phi) = R_{nl}(r) × Y_l^m(θ, \phi)。它適用於氫原子（Z = 1）與氦離子 He+（Z = 2）。距離以波耳半徑為單位（a = 1），因此 \Psi 的單位為類原子單位 a^{-3/2}。
使用方式
先選擇核電荷 Z，再輸入三個量子數：主量子數 n（1、2、3……）、角量子數 l（0 到 n-1）、磁量子數 m（-l 到 +l）。接著輸入要計算波函數的空間位置：徑向距離 r（以波耳半徑為單位）、極角 θ（0 到 180 度），以及方位角 \phi（0 到 360 度）。計算器會回傳 \Psi 的模、實部與虛部，並提供 r 乘以 \Psi 的數值，方便進行徑向密度的視覺化。
公式說明
徑向函數 R_{nl}(r) 由幾個部分組成：一個歸一化常數、一個衰減的指數項 e^{-Zr/(na)}、一個冪次因子 \rho^l（其中 \rho = 2Zr/(na)），以及一個以有限級數計算的締合拉蓋爾多項式 L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)。角度函數 Y_l^m 則使用締合勒讓德函數 P_l^m(\cosθ) 與複數相位 e^{im\phi}。當 m = 0 時結果為純實數；當 m 不為 0 時則帶有相位，因此我們會同時列出實部、虛部與模。請注意，|\Psi|^2（機率密度）並不依賴於 \phi。
範例演算（1s 基態）
設定 Z = 1、n = 1、l = 0、m = 0、r = 1、θ = 0、\phi = 0。此時 \rho = 2，徑向前置因子為
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。