這個計算器的功能
這個工具用來計算類氫原子（即一顆電子受核電荷 Z 束縛的系統，例如氫原子 H 或氦離子 He+）量子力學波函數的徑向部分。它會回傳徑向波函數 R_{n\ell}(r) 以及徑向機率密度 D(r) = r^{2} |R_{n\ell}(r)|^{2}，在一系列半徑上取樣，並以簡單長條圖呈現。這是一項通用的物理工具，不涉及任何特定國家的假設；所有距離皆以波耳半徑（a = 1）表示。
使用方式
先選擇原子核（H 對應 Z = 1，He+ 對應 Z = 2），接著輸入主量子數 n（1、2、3……）與角量子數 \ell（0 到 n-1）。再設定起始半徑、步進量以及取樣點數。計算器會建立一張包含 r、R_{n\ell}(r) 與 D(r) 的表格，標出 D(r) 達到最大值的半徑，並顯示歸一化積分的近似值供你檢查結果是否合理。
公式說明
透過代換 x = 2Zr/n，徑向函數可寫成
R_{n\ell}(r) = -P e^{-Zr/n} x^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)
其中前置因子 P = \sqrt{≤ft(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n (n+\ell)!}}
而 L 為相伴拉蓋爾多項式（associated Laguerre polynomial）。式中前面的負號只是相位慣例，並不影響 |R_{n\ell}|^{2} 的數值。再乘上 r^{2} 即得到 D(r)，代表電子出現在 r 到 r+dr 這個薄殼層中的機率。
實例演算
以氫原子 1s 軌域（Z = 1、n = 1、\ell = 0）在 r = 1 波耳半徑處為例：x = 2，P = √(8 × 0.5) = 2，L_{0}^{1}(2) = 1，因此
R = -2e^{-1} = -0.73576
D = 1^{2} × 0.73576^{2} = 0.54134
這其實正是 1s 軌域 D(r) 的最大值，印證了電子最可能出現的半徑就是一個波耳半徑。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 \(D(r)\) 的峰值不在 \(r = 0\)？
雖然對 1s 軌域而言 \(|R_{n\ell}|^{2}\) 在原子核附近最大，但薄殼層的體積因子 \(r^{2}\) 在原點處趨近於零，所以 \(D(0) = 0\)，機率會在某個有限半徑處達到最大。
使用什麼單位？
一律採用波耳半徑（\(a = 1\)），因此 \(r\)、步進量與峰值半徑都是波耳半徑（約 0.529 埃）的無因次倍數。
為什麼歸一化檢查不會剛好等於 1？
這個積分是以你所選取樣點做簡單的矩形求和近似而得；若把範圍加大、步進量縮小，結果就會更接近 1。