這個計算器的功能
這個工具會針對指定的形狀參數 a 與 b，在一段 x 區間內製表列出兩個關係密切的特殊函數。下不完全 Beta 函數 Bx(a,b) 是 Beta 被積函數從 0 積分到 x 的結果；正規化不完全 Beta 函數 Ix(a,b) 則是把該積分除以完全 Beta 函數 B(a,b)。Ix(a,b) 同時也是 Beta(a,b) 分布的累積分布函數（CDF），並且是二項分布、Student t 分布、F 分布等多種分布 CDF 的核心基礎。
使用方式
輸入形狀參數 a 與 b（兩者都必須為正數）。設定起始的 x 值（x 的初始值）、遞增量，以及重複次數（也就是列數）。第 i 列所用的 x = 初始 x + i × 遞增量。所有數值都會被限制在 [0, 1] 之間；當 x 達到 1 時，表格即停止。上方的重點區會顯示完全 Beta 值 B(a,b) 與最後一列的結果，而可捲動的表格則逐一列出每個 x 對應的 Bx(a,b) 與 Ix(a,b)。
公式說明
完全 Beta 採用數值上穩定的方式計算：B(a,b) = exp(lgamma(a) + lgamma(b) − lgamma(a+b))，其中對數 Gamma 函數使用 Lanczos 近似法。正規化值 Ix(a,b) 則以經典的 Numerical Recipes 連分數法（Lentz 演算法）求得：令 bt = exp(lgamma(a+b) − lgamma(a) − lgamma(b) + a·ln x + b·ln(1−x))，當 x < (a+1)/(a+b+2) 時使用 Ix = bt·betacf(a,b,x)/a，否則使用 Ix = 1 − bt·betacf(b,a,1−x)/b。最後再以 Bx(a,b) = Ix(a,b) × B(a,b) 得到結果。端點 I0 = 0 與 I1 = 1 會直接以精確值處理，以避免出現 log(0)。
實例演算
以 a = 1、b = 3 為例：B(1,3) = Γ(1)Γ(3)/Γ(4) = (1·2)/6 = 1/3 ≈ 0.333333。在 x = 0.5 時，封閉形式給出 Bx = (1 − (1−x)^3)/3 = (1 − 0.125)/3 = 0.291667，因此 Ix = 0.291667 / 0.333333 = 0.875。再用對稱性檢驗 Ix(1,3) = 1 − (1−x)^3 = 1 − 0.125 = 0.875，結果完全吻合。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。