📝 年齡倍數應用題代數求解器

這個工具專門用來解代數課本中常見的「年齡」應用題：父母現在的年齡是子女年齡的 n 倍，再過 a 年後，父母的年齡會變成子女年齡的 m 倍。只要輸入這兩個倍數與相隔的年數，就能算出子女和父母目前各自的年齡。它純粹是一個代數運算工具，適用於任何國家、任何語言，完全沒有地區限制。

只需填入三個數字：(1) 目前的倍數 n——也就是父母現在的年齡是子女的幾倍；(2) 相隔的年數 a；(3) 未來的倍數 m——也就是 a 年後父母的年齡是子女的幾倍。計算器會立刻顯示子女目前的年齡與父母目前的年齡。要得到合理的正數答案，目前的倍數應該大於未來的倍數（因為隨著子女長大，兩人年齡的比例會逐漸縮小）。

關鍵觀念在於：兩個人之間的年齡差永遠不變。現在的年齡差為 n · c - c = (n-1) · c。經過 a 年後，父母為 n · c + a，子女為 c + a，兩者滿足關係式 n · c + a = m · (c + a)。整理後可得 c · (n - m) = a · (m - 1)，因此

而父母的年齡就是

如果 n = m，分母會等於零，此時題目沒有唯一解。

假設父母現在是子女年齡的 3 倍，而 15 年後父母會是子女年齡的 2 倍。則

歲，

歲。驗算：現在 45 = 3 × 15。15 年後父母 60 歲、子女 30 歲，60 = 2 × 30。兩個條件都成立。

每個問題都使用核心公式

例子 1 — n = 4, m = 3，6年後

1. 代入孩子公式：
   C = (((3-1)· 6) ÷ (4-3)) = ((2· 6) ÷ (1)) = ((12) ÷ (1)) = 12.
   孩子目前12歲。
2. 父母目前年齡：
   P = n· C = 4· 12 = 48.
3. 驗證：6年後孩子是 12+6=18，父母是 48+6=54。檢查倍數：54 ÷ 18 = 3 = m。✓

例子 2 — n = 5, m = 2，9年後

1. 孩子目前年齡：
   C = (((2-1)· 9) ÷ (5-2)) = ((1· 9) ÷ (3)) = ((9) ÷ (3)) = 3.
   孩子目前3歲。
2. 父母目前年齡：
   P = n· C = 5· 3 = 15.
3. 驗證：9年後孩子是 3+9=12，父母是 15+9=24。檢查倍數：24 ÷ 12 = 2 = m。✓（這裡的「父母」更像是一個年長的手足——數學仍然成立。）

例子 3 — n = 6, m = 4，4年後

1. 孩子目前年齡：
   C = (((4-1)· 4) ÷ (6-4)) = ((3· 4) ÷ (2)) = ((12) ÷ (2)) = 6.
2. 父母目前年齡：
   P = n· C = 6· 6 = 36.
3. 驗證：4年後孩子是 6+4=10，父母是 36+4=40。檢查倍數：40 ÷ 10 = 4 = m。✓

下表顯示了計算得出的當前孩子年齡 C 和父母年齡 P=nC 如何隨著倍數和年份差異而變化。有效的問題始終需要 n>m：年齡比率必須隨著時間而縮小，因為恆定的年齡差成為兩個不斷增長的年齡中較小的一部分。當 n≤ m 時，分母 n-m 為零或負數，因此沒有正解。

對於 n=4, m=3, a=6 的行，公式給出 C=(((3-1)· 6) ÷ (4-3))= 12 年作為孩子的年齡。

• n — 當前年齡倍數：父母現在比孩子大幾倍。在公式中這是 currentMultiple。例子：「一位父母的年齡是孩子的4倍」意味著 n=4。
• m — 未來年齡倍數：在陳述的年數之後，父母比孩子大幾倍（futureMultiple）。例子：「6年後父母的年齡將是孩子的3倍」意味著 m=3。
• a — 年後的年數：「現在」與問題中描述的未來時刻之間的時間差（yearsLater）。兩個年齡都增加正好 a 年。
• C — 孩子的當前年齡：我們求解的解：C = \dfrac{(m-1) a}{ n-m }。
• P — 父母的當前年齡：直接從孩子的年齡得出：P = n· C。
• 年齡差是恆定的：年齡文字題中最重要的概念——差值 P-C 永不改變，因為兩人以相同的速率老化（每年一年）。將 a 加到兩個年齡上不會改變 P-C。改變的是比率：隨著兩個年齡增長，固定的差值佔總數的份額變小，因此倍數總是隨著時間而減少，這正是為什麼有效的問題需要 n>m 的原因。