什麼是第二類切比雪夫多項式？
第二類切比雪夫多項式（記作 U_n(x)）是一族正交多項式，廣泛出現在逼近理論、數值分析與物理學中。這是一個純數學工具：在任何地方的運算結果都完全相同，不受任何國家或法規限制。本計算器會在你指定的 x 範圍內建立 U_n(x) 的數值表，並讓你以圖形觀察其曲線變化。
使用方式
輸入階數 n（非負整數）、x 的起始值、增量（相鄰 x 值之間的間距），以及取樣點數（要產生多少個取樣點）。數值表會依序針對 x = 起始值、起始值 + 增量、起始值 + 2×增量……計算下去。在預設值（n = 3、起始值 = -1、增量 = 0.02、101 個點）之下，x 會從 -1 跑到 1.00。
公式說明
三角形式
U_n(\cosθ) = ((\sin((n+1)θ)) ÷ (\sinθ))
會在 x = ± 1 時發生除以零的問題，因此本工具改用穩定的三項遞迴式：U_0(x) = 1、U_1(x) = 2x，以及 U_k(x) = 2x· U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x)
此遞迴式對任何實數 x 都精確成立，並能讓 |x| > 1 時的數值自然增長。這些多項式滿足常微分方程式 (1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0
範例演算
當 n = 3 時，封閉形式為
U_3(x) = 8x^3 - 4x
取 x = 0.5：U_0 = 1、U_1 = 1、U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0、U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1。封閉形式同樣得到 8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1。在端點處，U_n(1) = n+1，故 U_3(1) = 4；而 U_n(-1) = (-1)^n(n+1)，故 U_3(-1) = -4。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
前幾個多項式長什麼樣子？
\(U_0 = 1\)、\(U_1 = 2x\)、\(U_2 = 4x^2 - 1\)、\(U_3 = 8x^3 - 4x\)、\(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\)。
x 可以超出 [-1, 1] 的範圍嗎？
可以。這個多項式對所有實數 x 都有定義；遞迴式能妥善處理 \(|x| > 1\) 的情況，只是數值會快速增長。
如果 n 不是整數怎麼辦？
階數會向下取整為非負整數；若輸入負值則會被限制為 0。