什麼是第二類完全橢圓積分？
第二類完全橢圓積分記作 E(k)，是一種特殊函數，定義為被積函數 \sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}θ} 從 0 到 π/2 的積分。無論是計算橢圓的精確周長、正弦曲線的弧長、大振幅單擺的週期，還是橢圓形裂紋的應力強度因子，都會用到它。輸入值 k 稱為「模數」（modulus），其範圍必須介於 −1 與 1 之間。
如何使用本計算器
輸入模數 k（一個介於 −1 到 1 之間的無因次數值），即可讀出 E(k) 的值。由於被積函數只與 k^{2} 有關，結果具有對稱性：E(-k) = E(k)。此函數會從 E(0) = π/2 平滑地遞減至 E(1) = 1。請特別注意，本工具直接採用模數 k 作為輸入，而非某些文獻所使用的參數 m = k^{2}。
公式說明
本計算器以算術幾何平均（AGM）來求出 E(k)，此方法具有二次收斂的特性。先設定 a_0 = 1、b_0 = \sqrt{1 - k^{2}}、c_0 = k。每一步計算 a = (a+b)/2、b = √(a· b)、c = (a-b)/2，直到 c 小到可忽略為止。接著，第一類積分為
實例演算
當 k = 0.1 時，m = 0.01。透過 AGM 求得 a_N ≈ 0.997492，c^{2} 的總和 S ≈ 0.01001256，因此 K ≈ 1.5747456，而
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。