📈 修正第二類貝索函數 K_n(x) 計算器

本工具可列出並繪製第二類修正貝索函數 K_{\nu}(x) 的數值與圖形。只要給定一個固定的實數階數 \nu 以及一段 x 的掃描範圍，它就會回傳一張「x 對 K_{\nu}(x)」的雙欄數值表，並附上一張折線圖，讓你直觀看到函數如何衰減。這是純粹的數學運算，適用於世界各地，沒有任何地區性的前提假設。

修正貝索函數是修正貝索方程式

的兩個獨立解。第一類 I_{\nu}(x) 會隨 x 增大而成長；第二類 K_{\nu}(x) 則呈指數衰減。要特別注意的是 K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)，因此階數的正負並不影響結果——計算器內部一律取 |\nu| 處理。

請輸入階數 \nu（任意實數）、x 的起始值、每一列加到 x 上的增量，以及重複次數（也就是 x 取樣點數／表格列數）。第 i 列使用的 x = 起始值 + i·增量。由於 K_{\nu}(x) 僅在 x > 0 時有定義，且當 x \to 0^{+} 時會發散至 +\infty，因此若某一列的 x = 0（或為負值），結果會顯示為 Infinity（無限大）。

計算器採用其積分表示式

並以複合辛普森積分法（composite Simpson quadrature）進行數值計算。當被積函數小到可忽略時（即 x·\cosh t 超過約 45 時），積分上限便會被截斷。這個形式在整數階數時不會出現奇異點，因此 K_0、K_1…… 都能直接求得，不會碰到含 I_{\nu} 的封閉解所遇到的 0/0 問題。

當 \nu = 0、起始值 = 0.1、增量 = 0.1、重複次數 = 3 時，所得表格為：x = 0.1 \rightarrow 2.427069、x = 0.2 \rightarrow 1.752704、x = 0.3 \rightarrow 1.372460。這些數值與標準的 K_0 函數表完全吻合。