🛠️ 半衰期計算器

所謂半衰期，指的是某物質減少到原本一半所需的時間——可以是放射性同位素的衰變、藥物在體內被代謝排除，或任何降到原始量 50% 的過程。半衰期主導著「一級衰變」這類過程，也是碳定年法、藥物給藥間隔與反應爐計算背後的核心原理。

其中 N_0 為初始量，N(t) 為經過時間 t 後的剩餘量，T 則為半衰期。由於四個變數彼此對稱，只要已知其中任三個，就能反推出第四個：

• 剩餘量：N(t) = N_0 × 0.5^{(t/T)}
• 初始量：N_0 = N(t) × 2^{(t/T)}
• 經過時間：t = T × \dfrac{\log(N(t)/N_0)}{\log(0.5)}
• 半衰期：T = t × \dfrac{\log(0.5)}{\log(N(t)/N_0)}

碳-14：半衰期 T = 5,730 年。經過 11,460 年（2 個半衰期）後，原本的 C-14 只剩 25%；再到 17,190 年（3 個半衰期），就只剩下 12.5%。

藥物代謝：一款半衰期為 6 小時、初始劑量 100 mg 的藥物，6 小時後降為 50 mg、12 小時後為 25 mg、18 小時後為 12.5 mg，依此類推。

碘-131（醫學影像用）：T = 8.02 天。若想估算病患體內的示蹤劑減少 99% 需要多久，可求解

同一個指數衰變過程，可以用三個彼此相關卻意義不同的量來描述：

• 半衰期 T——減少到一半所需的時間，是最直覺、最常用的參數。
• 平均壽命 \tau——單一粒子或分子在衰變前的平均存活時間。\tau = T / \ln(2) ≈ T × 1.4427。
• 衰變常數 \lambda——單位時間內的衰變機率。\lambda = \ln(2) / T ≈ 0.693 / T。

依使用情境挑選最合適的即可——物理學家偏好用 \lambda，醫師習慣講半衰期，生物學家則常用平均壽命。

實際樣本常含有多種同位素或混合化合物，各自有不同的半衰期。時間 t 時的總量，等於各成分 i 的 N_{0i} × 0.5^{(t/T_i)} 加總。本計算器一次只處理單一半衰期——若要計算混合物，請逐一針對每個成分分別計算，再把結果相加。

• 一級動力學假設。本公式假設衰變比例固定不變。大多數藥物的代謝符合此規律，但當酵素飽和時（例如酒精，或某些高劑量藥物）會呈現零級動力學，必須改用不同公式。
• 不追蹤衰變產物。計算器回傳的是剩餘的母核物質，而非子核產物。對於放射性衰變鏈（如 U-238 → Ra-226 → Rn-222），每一階段都需要單獨計算。
• 時間單位必須一致。若半衰期以「天」為單位，時間 t 也必須以「天」計——計算器使用的是無因次的比值 t/T。