反常態分布計算器的用途
這個計算器把常見的統計問題反過來算：一般我們問「小於 x 的機率是多少？」，而它要回答的是「在指定機率下，對應的數值是多少？」。只要輸入累積機率，以及常態分布的兩個參數，工具就會回傳對應的資料數值（反常態值）、所在的百分位數，以及相符的 z 分數。這類計算廣泛應用於課業學習、品質管制、財務領域（風險值 VaR）以及標準化測驗分析。
三個必填欄位
- 機率（0 到 1）：指你要查詢的數值左側所涵蓋的累積面積。例如 0.95 代表「整個分布有 95% 落在這個數值以下」。數值必須嚴格介於 0 與 1 之間。
- 平均數（μ）：常態分布的中心位置。
- 標準差（σ）：分布的離散程度，數值必須大於 0。
計算公式
本工具會依你輸入的 μ 與 σ，計算常態分布的反累積分布函數（即分位數函數）：
- 反常態值：x = Φ⁻¹(p; μ, σ)——累積機率剛好等於 p 的那個數值。
- 百分位數：機率 × 100。
- Z 分數：z = (x − μ) / σ——表示 x 距離平均數有幾個標準差。
計算原理是先求標準常態的反函數，再進行縮放與平移：x = μ + σ · z，其中 z 對應到機率 p。
實例演練
假設某次考試成績呈常態分布，平均數（μ）為 70、標準差（σ）為 8，你想知道第 90 百分位的分數。請輸入機率＝0.90、平均數＝70、標準差＝8。
- 對應機率 0.90 的標準常態 z 分數約為 1.2816。
- 反常態值：70 + 8 × 1.2816 ≈ 80.25。
- 百分位數：0.90 × 100 = 90%。
- Z 分數：(80.25 − 70) / 8 ≈ 1.28。
也就是說，約 80.25 分的成績，正好落在第 90 百分位。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼機率一定要嚴格介於 0 與 1 之間？
常態分布在兩端都會無限延伸，因此機率剛好等於 0 或 1 時，對應的數值會是正、負無限大。所以本計算器只接受落在這個開區間內的數值。
如果平均數與標準差維持標準值會怎樣？
當你輸入平均數＝0、標準差＝1 時，反常態值會直接等於 z 分數，也就是得到經典的標準常態分位數。
算出負值代表什麼？
當機率低於 0.5 時，對應數值會落在平均數左側，因此會得到負的 z 分數，以及小於 μ 的數值。這是正常結果，並非錯誤。