什麼是雅可比 cd 函數？
雅可比橢圓函數 sn、cn 與 dn 是一般三角函數的推廣，廣泛出現在物理與工程領域：單擺運動、孤立波（soliton）、電子濾波器設計，以及保角映射等。cd(u, k) 是其中一個衍生比值，定義非常簡單，就是 cn(u, k) 除以 dn(u, k)。其中 u 為自變數，k 為模數，是一個無因次的實數，範圍為 -1 ≤ k ≤ 1。由於這純屬數學運算，因此無論在哪裡計算，結果都完全一致。
如何使用本計算器
輸入自變數 u（任意實數）以及介於 -1 到 1 之間的模數 k，按下計算即可獲得高精度的 cd(u, k)。由於 cd 只取決於 m = k^2，因此負的 k 會得到與其絕對值相同的結果。較大的 u 值也會自動處理——請勿自行手動縮減 u。
公式說明
我們設橢圓參數 m = k^2。振幅 \phi = am(u, k) 透過算術—幾何平均（AGM）的下降型 Landen 變換求得，此方法快速且數值穩定。接著 sn = \sin\phi、cn = \cos\phi、dn = √(1 - m sn^2)，最後
範例演算
取 u = 4、k = 0.7，因此 m = 0.49。執行 AGM 階梯運算並下降求得振幅，得 \phi ≈ 3.4479。接著 cn = \cos(\phi) ≈ -0.9533，dn = √(1 - 0.49·\sin^2\phi) ≈ 0.9774，所以
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。