什麼是拉普拉斯分布？
拉普拉斯分布又稱「雙指數分布」，是一種以中心點對稱的連續機率分布。它的形狀就像把兩個指數分布背靠背接在一起，在位置參數處形成一個尖銳的峰（尖點），且尾部比常態分布更厚（重尾）。拉普拉斯分布廣泛應用於訊號處理、穩健迴歸（最小絕對偏差法）、貝氏推論（LASSO 先驗分布），以及金融領域中用來描述具有厚尾特性的報酬率。這是一項通用的數學工具，無論在世界各地計算結果都完全一致。
如何使用這個計算器
請輸入三個數值：x，即隨機變數的取值；位置參數 \mu，用來設定分布的中心（同時也是平均數與中位數）；以及尺度參數 b，它必須為嚴格正數，用來控制分布的離散程度。計算器會回傳機率密度 f(x)、下累積機率 P(X ≤q x) 與上累積機率 P(X > x)。這兩個累積機率值相加必定恰好等於 1。
公式說明
機率密度函數為
f(x) = ((1) ÷ (2 b))\exp\!≤ft(-((≤ft|x - \mu\right|) ÷ (b))\right)
累積分布函數則是分段定義的：當 x < \mu 時，F(x) = 0.5·\exp\!≤ft(((x - \mu) ÷ (b))\right)；當 x ≥q \mu 時，F(x) = 1 - 0.5·\exp\!≤ft(-((x - \mu) ÷ (b))\right)。F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\!≤ft(\dfrac{x - \mu}{b}\right) & if x < \mu \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\exp\!≤ft(-\dfrac{x - \mu}{b}\right) & if x ≥q \mu \end{cases}
使用絕對偏差可確保指數恆為非正數，因此 \exp() 永遠不會溢位。平均數等於 \mu，變異數等於 2b^2。
實例演算
設 x = 1、\mu = 0、b = 1，則偏差 d = 1。機率密度：
f(1) = 0.5·\exp(-1) = 0.18394
由於 x ≥q \mu，故 F(1) = 1 - 0.5·\exp(-1) = 0.81606，而上累積機率為 1 - 0.81606 = 0.18394。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 b 必須為正數？
尺度參數同時出現在分母與指數中；若 \(b \leq 0\)，機率密度將無法定義，因此計算器會對此進行驗證。
當 x = μ 時會發生什麼？
此時機率密度達到最大值 \(\frac{1}{2b}\)，且兩個累積機率皆等於 0.5。函數在此點存在一個不可微分的尖點。
這個分布是對稱的嗎？
是的。對於任意 \(t\)，皆滿足 \(f(\mu + t) = f(\mu - t)\) 以及 \(F(\mu + t) = 1 - F(\mu - t)\)。