什麼是拉普拉斯分布？
拉普拉斯分布（Laplace distribution）又稱雙指數分布，是一種連續型機率分布，形狀就像兩條指數曲線在中央峰值處背靠背接合而成。它由兩個參數決定：位置參數 a（其平均數、中位數與眾數三者都落在此處），以及尺度參數 b（必須大於零，用來控制尾端衰減的快慢）。它常見於訊號處理、穩健統計、貝氏 LASSO 先驗分布，以及資料尾端比常態分布更厚（厚尾）的各種模型中。
如何使用本計算器
先用 函數選擇 的選項按鈕決定要計算的量：機率密度 f、下累積機率 P（即 CDF），或上累積機率 Q。接著輸入位置參數 a 與一個正的尺度參數 b。然後用三個欄位定義 x 數列：x 起始值、x 遞增量 與 重複次數。各點依照 x_k = x_{起始值} + k · x_{遞增量}（k 從 0 到 次數−1）產生。工具會在每個點計算所選函數的值，繪製折線圖，並在表格中列出每組 (x, 數值)。頁面上方顯示的主數值為第一個 x 所對應的函數值。
公式說明
密度函數為
f(x,a,b) = ((1) ÷ (2 b)) e^{-((≤ft| x - a \right|) ÷ (b))}.
絕對值使曲線以 a 為中心左右對稱。積分後可得 CDF：當 x < a 時，P = 0.5 · e^{(x-a)/b}；當 x ≥ a 時，P = 1 - 0.5 · e^{-(x-a)/b}。上尾機率則為 Q = 1 - P。在峰值 x = a 處，會得到 f = ((1) ÷ (2b)) 且 P = Q = 0.5。
範例演算
取 a = 0、b = 0.7，並在 x = 1 處計算：
f = ((1) ÷ (1.4)) · e^{-1/0.7} = 0.714286 × 0.239651 ≈ 0.17118.
由於 x ≥ a，故 P = 1 - 0.5 · e^{-1.42857} = 0.88017，Q = 0.11983。可以注意到 P + Q 恰好等於 1，這是個方便的自我檢查。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 b 必須為正？
密度函數要除以 2b，且指數中也用到 b；若 \(b \le 0\)，函數便無定義，因此計算器會拒絕此類輸入。
Q 代表什麼？
\(Q(x)\) 是隨機變數的值超過 x 的機率，也就是右尾機率（存活機率），等於 \(1 - P(x)\)。
最多可以繪製多少點？
可使用任何不超過 1000 的正整數。預設值（起始 −5、遞增 0.1、共 101 點）所涵蓋的 x 範圍為 −5 到 +5。