這個計算機能做什麼
線性卷積計算機可將兩組離散序列透過「離散線性卷積」運算結合在一起。卷積是數位訊號處理（DSP）中最基礎的工具之一，當你已知一個線性非時變（LTI）系統的輸入訊號與脈衝響應時，便能用卷積算出系統的輸出。只要輸入兩組數列，計算機就會立即回傳完整的卷積序列，並附上其中的最大值與最小值。
使用方法
只需要填寫兩個欄位：
- 第一組序列－你的輸入訊號 x，以逗號分隔的數字輸入，例如
1, 2, 3。 - 第二組序列－你的第二組訊號 h（通常是脈衝響應），例如
0, 1, 0.5。
小數與負數都可以使用。系統會自動去除每個數值前後的空白並轉換為數字，因此空格多寡完全不影響結果。
計算公式
離散線性卷積的定義如下：
實際運算上，計算機是以直接的雙重迴圈來實作：將第一組序列的每個元素，與第二組序列的每個元素相乘，並把每個乘積 x[i]· h[j] 累加到輸出位置 i + j 上。最終得到的序列長度為 len(x) + len(h) − 1。
範例演算
假設 x = [1, 2, 3]、h = [1, 1]，則輸出長度為 3 + 2 - 1 = 4。
- y[0] = 1· 1 = 1
- y[1] = 1· 1 + 2· 1 = 3
- y[2] = 2· 1 + 3· 1 = 5
- y[3] = 3· 1 = 3
因此卷積結果為 [1, 3, 5, 3]，其中最大值為 5、最小值為 1。
卷積中的關鍵術語
| 術語 | 含義 |
|---|---|
| 離散序列 x[n] | 一個按整數 n 索引的有序數字列表，通常是信號的樣本。您以逗號分隔的值輸入的項是 x[0],x[1],x[2],\dots |
| 衝擊響應 h[n] | 當系統的輸入是單個單位衝擊時，系統產生的輸出。對於 LTI 系統，它完全表徵該系統：對任何輸入的響應是該輸入與 h[n] 的卷積。 |
| LTI 系統 | 線性時不變：縮放和相加輸入會縮放和相加輸出（線性），延遲輸入只會延遲輸出（時不變性）。卷積確切描述了 LTI 類。 |
| 單位衝擊 \delta[n] | 在 n=0 處等於 1，其他地方都等於 0 的序列。它是卷積的單位元素：x[n]*\delta[n]=x[n]。 |
| 核/濾波器抽頭 | 當有限序列 h 用作濾波器時的常見名稱。每個單獨的係數 h[k] 是一個「抽頭」；長度為 5 的核是 5 抽頭濾波器。 |
| 卷積和 | y[n]=\sum_{k} x[k] h[n-k] — 對於每個輸出索引 n，將每個輸入樣本乘以其索引使 k+(n-k)=n 的核值，然後相加乘積。 |
| 支撐/長度 | 序列非零的索引集。對於長度為 N 和 M 的有限序列，卷積的支撐長度為 N+M-1。 |
| 索引 n 和移位 n-k | n 是輸出位置；k 遍歷輸入樣本。寫 h[n-k] 意味著核是時間反轉（翻轉）並滑動到位置 n — 卷積的「翻轉和滑動」圖像。 |
| 線性與圓形卷積 | 線性卷積（此計算器）增長到長度 N+M-1。圓形卷積將序列視為周期長度 L=\max(N,M) 並將溢出環繞回開始，給出長度 L 的結果；它對應於兩個 DFT 的逐元素乘積。 |
| 互相關 | r[n]=\sum_k x[k] h[k+n] — 相同的滑動和求和操作但沒有翻轉。x 與 h 的相關等於 x 與時間反轉 h 的卷積；當 h 對稱時兩者一致。 |
| 交換性 | x*h=h*x：交換兩個項得到相同的輸出序列。 |
| 結合性 | (x*h_1)*h_2=x*(h_1*h_2)：級聯濾波器可以組合成一個等效核。 |
| 分配性 | x*(h_1+h_2)=x*h_1+x*h_2：平行分支相加，這是分解濾波器的基礎。 |
| 零填充 | 向序列追加零。零不改變線性卷積的非零值，但將兩個序列填充到長度 ≥ N+M-1 使圓形（基於 DFT）卷積等於線性卷積。 |
解釋您的卷積序列
輸出索引的含義。計算器報告 y[0],y[1],y[2],\dots，假設兩個輸入都從索引 0 開始。如果您的序列實際上從其他地方開始，第一個輸出樣本位於兩個起始索引的和：如果 x 從 n_x 開始，h 從 n_h 開始，那麼 y 從 n_x+n_h 開始。例如，以 -1 為中心的核與從 0 開始的信號卷積給出一個輸出，其第一個樣本位於 n=-1，因此您必須在根據時間繪製之前將打印列表向左移動一位。
長度和擴展。輸出長度始終為
因此信號由 len(h)-1 個額外樣本擴展。這些額外樣本出現為啟動暫態（前 len(h)-1 個輸出，其中核只部分重疊數據）和末尾的尾聲。在實時濾波中，這些邊緣樣本通常被丟棄或單獨處理，因為它們是從不完全重疊而不是從完整核計算的。
總和檢查。確認結果的一個快速方法是輸出的總和等於輸入總和的乘積：
對於 x=[1,2,3] 和 h=[1,1]，輸出是 [1, 3, 5, 3]，其總和為 1+3+5+3=12，符合 6× 2=12。如果您的總和不符合，索引已被丟棄或符號被誤處理。
核的和告訴您什麼。如果 \sum_n h[n]=1，該操作保留信號的總體水準和平均值 — 這是平滑或低通核的特徵，例如 [0.5,0.5] 或 [1/3,1/3,1/3]。如果 \sum_n h[n]=0，輸入的常數部分被消除，只有變化存活：h=[1,-1] 是一個一階差分（高通）核，在任何常數段上輸出零，並在邊緣處產生峰值。求和為大於 1 的值的核應用淨增益；小於 1（但非零）應用淨衰減。
峰值振幅。報告的最大值和最小值給出濾波信號的最大正和負偏移 — 對於檢測定點實現中的溢出或裁剪很有用。每個輸出樣本滿足
這是一個安全的最壞情況界。一個更緊密和同樣標準的界是 \max_n|y[n]|≤ \max_n |x[n]|·\sum_k|h[k]|；量 \sum_k|h[k]| 是濾波器對最壞情況有界輸入的增益。
衝擊行為。與 \delta[n]=[1] 卷積返回未改變的輸入，與移位衝擊 — [0,0,1]，即 \delta[n-2] — 卷積返回延遲 2 個樣本的精確副本。這使衝擊成為方便的合理性測試：如果核應該是中性的，向其提供單個 1 應該重現核本身，因為 \delta[n]*h[n]=h[n]。
這些性質是關於離散線性卷積的一般數學事實，不依賴於任何國家標準或軟體包。如果您將結果與基於 DFT 的程序進行比較，請記住它計算圓形卷積，除非兩個序列都零填充到至少 len(x)+len(h)-1。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。