什麼是 Lotka-Volterra 模型？
Lotka-Volterra 方程式是一組一階非線性微分方程，用來描述兩個物種彼此互動的生物系統動態——其中一方是掠食者，另一方則是獵物。這套模型由 Alfred Lotka 與 Vito Volterra 於 1920 年代各自獨立推導出來，能夠刻畫出族群數量週期性起伏的現象：獵物大量繁殖、掠食者飽餐而增生、獵物隨之銳減、掠食者因缺食而凋零，接著週期再次循環。
如何使用這個計算機
輸入初始獵物族群數（x_0）與掠食者族群數（y_0）、四項速率參數（\alpha 獵物成長率、\beta 捕食率、\delta 掠食者因捕食而成長的速率、\gamma 掠食者死亡率），再設定時間步長（dt）與要積分的步數。計算機會以經典的四階 Runge-Kutta（RK4）方法推進整個系統，並回報最終族群數、各族群所達到的尖峰值，以及解析得出的平衡點。
公式說明
獵物方程式
((dx) ÷ (dt)) = \alpha x - \beta x y
表示獵物會呈指數成長，但遇上掠食者時就會被捕食而減少。掠食者方程式 ((dy) ÷ (dt)) = \delta x y - \gamma y
則表示掠食者因成功狩獵而增長，並會自然死亡。非零平衡點位於 x^{*} = ((\gamma) ÷ (\delta)) 與 y^{*} = ((\alpha) ÷ (\beta))——在這一點上兩個導數皆為零，族群數量維持恆定。
實例演算
以 x_0 = 40、y_0 = 9、\alpha = 0.1、\beta = 0.02、\delta = 0.01、\gamma = 0.1、dt = 0.1，跑 1000 步（t 最高到 100）為例，族群會呈現週期性振盪。平衡點為
x^{*} = ((0.1) ÷ (0.01)) = 10 隻獵物, \qquad y^{*} = ((0.1) ÷ (0.02)) = 5 隻掠食者
，這正是整個循環繞行的中心。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
使用哪一種數值積分方法？
採用四階 Runge-Kutta 法，在相同步長下，其精確度遠勝於單純的歐拉（Euler）法。
為什麼我的族群數會暴增或歸零？
時間步長過大或速率參數過於極端，都可能使數值解變得不穩定。請把 \(dt\) 調小，循環曲線就會更平滑、更準確。
如果一開始就設在平衡點會怎樣？
當 \(x_0 = \frac{\gamma}{\delta}\) 且 \(y_0 = \frac{\alpha}{\beta}\) 時，兩個導數皆為零，因此族群數會保持恆定不變——這就是系統的固定點。