這個計算器的功能
本工具可計算第一類修正球面貝索函數 iv(x) 與第二類 kv(x)，並一併求出其一階導數 i'v(x) 與 k'v(x)，適用於非負整數階 v 與正實數引數 x。這些屬於純數學的特殊函數，世界各地的定義完全相同，不涉及任何地區性或單位上的假設。
背景與公式
這些函數是修正球面貝索方程 x²w″ + 2xw′ − (x² + v(v+1))w = 0 的解。透過半整數階的位移，它們與柱形修正貝索函數相關聯：iv(x) = √(π/2x)·Iv+1/2(x)、kv(x) = √(2/πx)·Kv+1/2(x)。由於整數 v 加上 +1/2 後階數成為半整數，這些函數便可化簡為含 sinh、cosh 與 exp 的初等表達式。我們以 i0=sinh(x)/x、i1=cosh(x)/x−sinh(x)/x²、k0=(π/2x)e−x、k1=(π/2x)e−x(1+1/x) 作為起始值，再逐階向上遞推至所需階數。導數則採用 f'v = −fv+1 + (v/x)fv。
使用方法
輸入整數階 v（0、1、2、…）與引數 x（須滿足 x > 0），即可讀取四項輸出結果。請留意，本工具採用的慣例為 kv(x)=√(2/πx)Kv+1/2(x)，因此在 k0 中會出現 π/2 這個係數；部分文獻則省略此係數。
實例演算（v = 0、x = 2）
i0(2)=sinh(2)/2=3.6268604/2=1.8134302。i1(2)=cosh(2)/2−sinh(2)/4=1.8810978−0.9067151=0.9743827，因此 i'0(2)=−i1(2)=−0.9743827。k0(2)=(π/4)e−2=0.1062930，k1(2)=k0·1.5=0.1594394，因此 k'0(2)=−k1(2)=−0.1594394。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。