🛠️ 非中心 F 分布計算器

非中心 F 分布是在一般（中心）F 分布的基礎上，加入非中心參數 \lambda 後的推廣形式。它可視為一個非中心卡方變數（除以其自由度 \nu_1）與一個獨立的中心卡方變數（除以 \nu_2）兩者比值的分布。這個分布在統計檢定力分析中扮演關鍵角色：當虛無假設不成立時，變異數分析（ANOVA）或迴歸 F 檢定的統計量便會服從非中心 F 分布，而 \lambda 正好衡量真實效果偏離虛無假設的程度。當 \lambda = 0 時，整個分布便會退化為我們熟悉的中心 F 分布。

首先選擇要計算的對象：機率密度 f、下累積機率 P（即累積分布函數 CDF，x 左側的面積），或上累積機率 Q = 1 - P（x 右側的面積）。接著輸入分子自由度 \nu_1、分母自由度 \nu_2，以及非中心參數 \lambda。然後透過初始值、增量（步長）與重複次數，設定一系列 x 值；本工具會在 x = 初始值 + i × 步長（i = 0 到 次數-1）的各點計算所選函數，並將結果整理成表格。

機率密度是以卜瓦松（Poisson）權重對多個中心 F 密度取加權平均。每個權重為

也就是平均數為 \lambda/2 的卜瓦松分布中發生 j 次事件的機率。第 j 項是自由度為 (\nu_1 + 2j,\ \nu_2) 的中心 F 密度，可用 Beta 函數 B(a,b) = ((\Gamma(a)\Gamma(b)) ÷ (\Gamma(a+b))) 表示。計算累積機率時，則把每一項密度換成對應的中心 F 累積分布函數，其值等於正則化不完全 Beta 函數 I_z\!≤ft(\tfrac{\nu_j}{2},\ \tfrac{\nu_2}{2}\right)，並在 z = ((\nu_j x) ÷ (\nu_2 + \nu_j x)) 處求值。

取 \nu_1 = 3、\nu_2 = 2、\lambda = 0（中心情形），求 x = 1 時的 P。此時

因此 P = I_{0.6}(1.5,\ 1.0)。由於 I_z(a,1) = z^a，所以結果為 即 P 約為 0.4648，而 Q 約為 0.5352。若加入非中心參數 \lambda = 1，機率質量會往較大的 x 移動，使下累積機率降低至約 P = 0.451。