這個計算機能做什麼
常態分布計算機可在你指定的點 x 上，依給定的平均數（\mu）與標準差（\sigma）評估一個常態分布變數。它會回傳三個核心數值：機率密度 f(x)、左尾累積機率 P(X ≤ x)，以及右尾累積機率 P(X > x)。這是一個通用的數學與統計工具，不涉及任何特定國家的假設或規定。若採用預設值 \mu = 0 與 \sigma = 1，它就會以標準常態分布來計算。
使用方式
輸入你想評估分布的數值 x、平均數 \mu，以及標準差 \sigma（必須大於 0）。計算機會先以
z = ((x - \mu) ÷ (\sigma))
將數值標準化，接著計算機率密度與左右兩側的累積機率。左尾累積機率是曲線下方、x 左側的面積；右尾累積機率則是 x 右側的面積，兩者相加恆為 1。
公式說明
機率密度為
f(x) = ((1) ÷ (\sigma√(2π))) e^{-((≤ft(x - \mu\right)^2) ÷ (2 \sigma^2))}
左尾累積機率即累積分布函數 \Phi(z) = ((1) ÷ (2))≤ft[1 + erf\!≤ft(((z) ÷ (√(2)))\right)\right]
其中 erf 為高斯誤差函數。由於標準數學函式庫並未內建 erf，本工具採用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 的有理近似式，精度約達 1e-7。右尾累積機率則單純為 1 - \Phi(z)。
實際範例
以類似 IQ 的分布為例，設 \mu = 100、\sigma = 15，並在 x = 130 處評估。首先
z = ((130 - 100) ÷ (15)) = 2
機率密度為 f(130) = ((0.3989422804) ÷ (15)) × e^{-2} = 0.003599750
左尾累積機率 \Phi(2) = 0.9772498681，因此右尾累積機率為 0.0227501319，代表約有 2.28% 的數值超過 130。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
\(z\) 是什麼？
\(z\) 是標準化分數，表示 \(x\) 高於（正值）或低於（負值）平均數多少個標準差。
為什麼 \(\sigma\) 必須是正數？
標準差若為零或負數，分布便無法定義，且會造成除以零的錯誤，因此 \(\sigma\) 必須大於 0。
\(f(x)\) 與兩個機率相加會等於 1 嗎？
相加等於 1 的是兩個累積機率 \(P(X \le x)\) 與 \(P(X > x)\)。機率密度 \(f(x)\) 並非機率，也不屬於這個總和；它代表的是曲線在 \(x\) 點的高度。