什麼是柏拉圖分布計算器？
本工具用於計算第一型柏拉圖分布（Pareto Type I），這是一種連續機率分布，常用來描述財富分配、城市規模、檔案大小等具有「重尾」特性的現象。只要給定一個點 x、尺度參數 x_m 以及形狀參數 \alpha（即尾部指數），計算器就會回傳機率密度（PDF）、下方（左側）累積機率 P(X ≤ x)，以及上方（右側）累積機率 P(X > x)。它是一個純數學工具，不限定於任何國家或地區。
如何使用
輸入百分位點 x、尺度參數 x_m（必須大於 0），以及形狀參數 \alpha（必須大於 0）。計算器會回傳三個數值。下累積機率與上累積機率相加必定等於 1，可作為驗算結果是否正確的方便檢查。
公式說明
柏拉圖分布的定義域為 x 不小於 x_m。當 x ≥ x_m 時，密度函數為
f(x) = ((\alpha x_m^{\alpha}) ÷ (x^{\alpha+1}))
累積分布函數（CDF）為 F(x) = 1 - ≤ft(((x_m) ÷ (x))\right)^{\alpha}
存活函數為 Q(x) = ≤ft(((x_m) ÷ (x))\right)^{\alpha}
當 x 小於 x_m 時，該變數落在定義域之外，因此 f(x) = 0、F(x) = 0、Q(x) = 1。\alpha 越大代表尾部越輕，出現極大值的機率衰減得越快。
實際範例
假設 x = 2、x_m = 1、\alpha = 1。由於 2 不小於 1，套用有效的分支計算。比值 x_m/x = 0.5。於是
f(2) = ((1 · 1) ÷ (2^2)) = 0.25
F(2) = 1 - 0.5 = 0.5
Q(2) = 0.5
驗算：0.5 + 0.5 = 1.0。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
形狀參數 alpha 代表什麼？
它就是尾部指數：\(\alpha\) 越小，尾部越重（更容易出現極端的大數值）；\(\alpha\) 越大，尾部越輕。
為什麼 x 小於 xm 時密度為 0？
第一型柏拉圖分布只在 \(x \ge x_m\) 的範圍內有定義；尺度參數 \(x_m\) 就是該變數可能取到的最小值。
這個分布有有限的平均數嗎？
只有當 \(\alpha\) 大於 1 時平均數才存在；只有當 \(\alpha\) 大於 2 時變異數才存在。