這個計算機的用途
可重複排列計算機可以幫你算出在「允許重複」的情況下，總共能排出多少種有序排列。你從 n 種項目中挑選，並填入 r 個位置；由於每一種項目都可以重複使用，因此每個位置的選擇數量都相同。計算結果就是 n 的 r 次方。這正是處理 PIN 碼、密碼、擲骰子、車牌號碼等「同一個值可以出現不只一次」情境時的經典計數法則。
你需要輸入的數值
- 項目種類數（n）：每個位置可供選擇的不同選項有幾種 — 例如 10 個數字（0–9）或 26 個英文字母。
- 要填入的位置數（r）：你需要填滿幾個位置，例如 PIN 碼中的 4 個數字。
兩個欄位都會以整數讀取，接著工具會回傳所有可能有序序列的總數。
計算公式
本計算採用「可重複排列」法則：
邏輯非常直觀：第一個位置可以是 n 種項目中的任何一種，第二個位置同樣可以是 n 種項目中的任何一種（因為允許重複），以此類推直到全部 r 個位置。把 n 連乘 r 次就得到 n^{r}。這裡順序是有意義的，所以「AB」和「BA」會被視為不同的排列。
實際範例
假設你想算出所有可能的 4 位數 PIN 碼。數字共有 10 種（0 到 9），所以 n = 10；要填入 4 個位置，所以 r = 4。
- P(10, 4) = 10^{4}
- = 10 × 10 × 10 × 10
- = 10,000 種可能的 PIN 碼（從 0000 到 9999）。
只要輸入 n = 10、r = 4，計算機就會回傳 10,000。
計數的增長方式：情景比較
當允許重複且順序重要時，每個r個位置可以獨立地取任何n種項目類型，因此有序排列的總數為P = n^r。下表顯示在熟悉的設定中該乘積的增長速度有多快。
| n（項目類型） | r（位置） | nr | 實際應用背景 |
|---|---|---|---|
| 2 | 8 | 256 | 一個字節：8個二進位數字，各為0或1 |
| 6 | 2 | 36 | 兩個六面骰子依序擲出（區分順序） |
| 10 | 4 | 10,000 | 4位數字PIN，0000–9999 |
| 10 | 6 | 1,000,000 | 6位數字PIN |
| 26 | 3 | 17,576 | 由26個字母字母表組成的3字母代碼（AAA–ZZZ） |
| 36 | 6 | 2,176,782,336 | 使用10個數字 + 26個字母的6字元代碼（車牌或憑證風格） |
| 62 | 8 | 218,340,105,584,896 | 由數字 + 小寫 + 大寫字母組成的8字元密碼（10 + 26 + 26 = 62個符號） |
兩個不同的槓桿驅動這種增長，它們並不等效：
- 增加一個位置將總數乘以n。由於n^{r+1} = n^r × n，從4位PIN轉到5位PIN會將10,000乘以10，得到100,000 — 每增加一個位置就是固定的倍數。
- 增加項目類型會提升底數。在r = 6固定的情況下，從n = 10轉到n = 36會將計數從1,000,000提升到2,176,782,336，因為六個位置中的每一個都同時獲得額外的選擇。
因為指數位於位置計數中，長序列通常是更強大的槓桿：2^{8} = 256很小，而2^{64}從相同的兩個符號來說大得不可思議。請注意上面的字母表大小（26個字母、62個區分大小寫的英數字符）假設了英文中使用的基本拉丁字母；其他文字系統和代碼標準定義了不同的符號集，任何實際的密碼或車牌方案可能排除易混淆的字符（如O和0），這會降低n。
關鍵術語和變數
| 術語 | 意義 |
|---|---|
| n — 項目類型 | 可用於「各個」位置的不同項目、符號或結果的數量。對於骰子，n = 6；對於十進位數字，n = 10。在此計算機中，n是幂的底數。 |
| r — 位置（抽取次數） | 按順序要填充的槽位數量或要進行的抽取次數。由於項目被替換，r可能大於n：你可以擲一個骰子20次，所以n = 6，r = 20。r是指數。 |
| 替換/重複 | 項目類型在被使用後仍然可用，因此同一值可以出現在多個位置。因此，每個位置都獨立地面對相同的n個選擇。 |
| 有序排列（序列） | 位置很重要：AB和BA被計為兩個不同的結果。這是將排列與組合區分開的原因。 |
| 允許重複的排列 | 本工具計算的數量： P = n^{r} 有序，允許重複。 |
| 不允許重複的排列 | 有序，但每個項目最多可使用一次，因此選擇從n縮小到n-r+1： P(n,r) = ((n!) ÷ ((n-r)!)) 需要r ≤ n。當n = 10，r = 4時，這給出10 × 9 × 8 × 7 = 5,040，遠少於10^4 = 10,000。 |
| 不允許重複的組合 | 從n中無序選擇r個不同的項目： C(n,r) = \binom{n}{r} = ((n!) ÷ (r! (n-r)!)) 這裡{A,B}和{B,A}是相同的結果。 |
| 允許重複的組合 | 無序，允許重複（「多重集」選擇）： \binom{n+r-1}{r} 對於兩個骰子，其中只有值對重要，\binom{6+2-1}{2} = \binom{7}{2} = 21，相比之下6^2 = 36個有序結果。 |
| 樣本空間 | 所有n^r個可能序列的完整集合。如果每個序列的可能性相等，每個序列的概率為1/n^{r} — 這是說隨機4位PIN在第一次嘗試時被猜中的概率為1/10,000的基礎。 |
| 階乘（n!） | n! = n × (n-1) × ·s × 2 × 1，其中按慣例0! = 1。它出現在上面的不允許重複公式中，但不出現在n^r中。 |
快速測試以確定適用哪個公式：問（1）順序是否重要，以及（2）項目是否可以重複。順序重要 + 允許重複\Rightarrow n^{r}。順序重要 + 不允許重複\Rightarrow n!/(n-r)!。順序無關 + 不允許重複\Rightarrow \binom{n}{r}。順序無關 + 允許重複\Rightarrow \binom{n+r-1}{r}。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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