什麼是可重複排列？
可重複排列（又稱可放回排列）計算的是：從 n 個相異元素中取出 r 個來排序，且每個元素都可以重複取用任意多次時，總共有多少種有序的排列方式。由於 r 個位置中的每一個都能獨立地填入 n 個元素中的任何一個，因此總數就是 n 連乘 r 次，寫作 {}_{n}\Pi_{r} = n^{ r}。這與一般排列 {}_{n}P_{r} = n!/(n-r)! 不同，後者不允許重複。
如何使用這個計算器
先輸入相異元素的數量 n，再選擇 r 的起始值與結束值。本工具會為這個（含端點）範圍內的每個整數 r 建立一列，並逐一列出 n^r。由於這些數字增長極為快速，計算器內部採用精確的大整數運算，並讓你自行選擇要顯示幾位有效數字（預設為 18 位）。若你輸入的起始值大於結束值，系統會自動互換兩者，使表格仍以遞增順序呈現。
公式詳解
核心法則是
{}_{n}\Pi_{r} = n^{ r}, r = r_{start}, \dots, r_{end}
r 個位置中的每一個都是在 n 個選項中獨立做出的選擇，因此根據乘法原理，各種排列方式相乘：n × n × \dots × n（共 r 個因子）。一些特殊情況可由此直接推得：當 r = 0 時恰好有一種排列（即空排列），所以對任何 n 來說 n^0 = 1，本工具也採用 0^0 = 1 的慣例。當 n = 0 且 r > 0 時，因為沒有元素可供排列，所以結果為 0。
實例演算
當 n = 17、r 從 0 到 20 時，表格從 1、17、289、4,913、83,521、… 開始，並在 r = 20 時以
17^{20} = 4,064,231,406,647,572,522,401,601
結束，約等於 4.06 × 10^{24}。再看一個簡單的驗證：當 n = 2、r 從 0 到 4 時，會得到 1、2、4、8、16，正好就是各長度二進位字串的數量。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 \(n^0 = 1\)？
排列零個元素只有一種方式：什麼都不選。這個空排列讓公式保持一致。
這與 nPr 有何不同？
一般排列 \({}_{\text{n}}P_{r}\) 不允許重複取用，結果為 \(n!/(n-r)!\)。這裡允許重複，所以每個位置都有 n 種選擇，答案是 \(n^r\)。
為什麼大數字會四捨五入顯示？
內部運算是精確的，但為了方便閱讀，極大的結果會以你所選的有效數字位數來顯示。