🛠️ 多伽瑪函數計算器

階數為 n 的多伽瑪函數，記作 \psi^{(n)}(a)，定義為伽瑪函數自然對數的第 (n+1) 階導數。依本計算器採用的索引方式：n=-1 時回傳對數伽瑪函數 \ln\Gamma(a) 本身；n=0 時回傳雙伽瑪函數 \psi(a)；n=1 為三伽瑪函數；n=2 為四伽瑪函數，以此類推。這些特殊函數廣泛出現在機率論、統計學（伽瑪分布與貝塔分布的最大概似估計）、數論及漸近分析中。這是純粹數學，無論在哪裡計算結果都完全相同。

先從下拉選單選擇導數階數 n（-1、0、1、2、3 或 4），再輸入實數引數 a，按下計算即可得到 \psi^{(n)}(a)，精度約達 12 位有效數字。本計算器在 a>0 時完全有效；當 a 小於或等於 0 時，函數需透過反射公式處理，而對於非正整數（即伽瑪函數的極點），計算器會標示為「未定義」。

當 n=-1 時，採用 Lanczos 近似法計算 \ln\Gamma。當 n=0 時，雙伽瑪函數先利用遞迴關係 \psi(x)=\psi(x+1)-((1) ÷ (x)) 將引數推升至 6 以上，再以漸近級數 \psi(x)\sim\ln x-((1) ÷ (2x))-((1) ÷ (12x^{2}))+·s 完成計算。當 n≥1 時，遞迴關係 \psi^{(n)}(x)=\psi^{(n)}(x+1)+(-1)^{n+1}\dfrac{n!}{x^{n+1}} 會把引數推升至 10 以上，接著以伯努利數漸近級數收尾求值。

以 n=1、a=5 為例（即三伽瑪函數在 5 的值）。運用恆等式 \psi^{(1)}(m)=\dfrac{π^{2}}{6}-\sum_{k=1}^{m-1}\dfrac{1}{k^{2}}，可得

為什麼 a=0 或負整數時為未定義？伽瑪函數在 0、-1、-2、… 處有極點，因此 \ln\Gamma 及所有多伽瑪函數在這些點上都會發散。

雙伽瑪與三伽瑪有什麼差別？雙伽瑪（n=0）是 \ln\Gamma 的一階導數；三伽瑪（n=1）是其二階導數，也就是雙伽瑪函數的導數。

計算結果有多準確？採用雙精度浮點運算搭配「位移＋漸近」方法，在 a>0 時約可提供 12 至 15 位正確的有效數字。