什麼是畢氏三元數？
畢氏三元數是指三個滿足畢氏定理 a^2 + b^2 = c^2 的正整數 (a, b, c)。最經典的例子就是 (3, 4, 5)，因為 9 + 16 = 25。這樣的三元數代表三邊長都是整數的直角三角形，因此在幾何學、數論、建築工程與三角函數中都扮演重要角色。
如何使用本計算器
請輸入兩個整數 m 與 n，其中 m 必須大於 n，且兩者皆大於零。按下計算後，工具會套用歐幾里得公式，立即產生一組有效的三元數 (a, b, c)。同時也會顯示 a^2、b^2 與 a^2 + b^2 的數值，方便你確認結果是否等於 c^2。
公式解析
歐幾里得公式指出，對於任意整數 m > n > 0：
(a, b, c) = ≤ft(m^{2} - n^{2},\ \ 2 m n,\ \ m^{2} + n^{2}\right)
將這些代入 a^2 + b^2 可得
(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2,
正好等於 c^2。這證明了每一組 (m, n) 都能產生一組真正的畢氏三元數。當 m 與 n 互質且不同時為奇數時，所得的三元數即為「原始三元數」（各項之間沒有共同因數）。
實例演練
設 m = 2、n = 1。則 a = 2^2 - 1^2 = 3、b = 2 × 2 × 1 = 4、c = 2^2 + 1^2 = 5。所得三元數為 (3, 4, 5)，而
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2,
完全成立。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 m 一定要大於 n？
若 m ≤ n，則 \(a = m^2 - n^2\) 會為零或負數，無法作為三角形的邊長。
這能產生所有的三元數嗎？
歐幾里得公式（搭配一個縮放倍率）可以產生所有的畢氏三元數。單一組 (m, n) 每次只會得到一組原始三元數或其縮放後的版本。
什麼是原始三元數？
原始三元數是指 a、b、c 之間除了 1 以外沒有其他共同因數的三元數，例如 (3, 4, 5) 或 (5, 12, 13)。