什麼是 QR 分解？
QR 分解（又稱 QR 分解法）是線性代數中一項基礎技巧，它將矩陣 A 表示為兩個矩陣的乘積：A = Q R。其中 Q 是正交矩陣（各欄向量互相垂直且為單位向量，因此 Q^{\mathsf{T}}Q = I），R 則是上三角矩陣。這種分解廣泛應用於全球的數值計算領域，適用於任何實數矩陣，不受國家或慣例的限制。
QR 分解常用來求解線性方程組、計算最小平方法迴歸擬合，以及透過 QR 演算法求特徵值。相較於直接對矩陣求反矩陣，QR 分解在數值上更為穩定，這也是它廣泛出現在各種科學與工程軟體套件中的原因。
如何使用本計算器
輸入矩陣相當簡單：
- 同一列中的數值請以逗號分隔。
- 每一列之間請以直線符號（ | ）分隔。
- 舉例來說，列為 (1, 2) 和 (3, 4) 的矩陣，請輸入為
1,2|3,4。
送出後，計算器會回傳正交矩陣 Q 與上三角矩陣 R，您可以將兩者相乘來驗證是否能還原出原始矩陣。
公式解析
最常見的方法是格拉姆–施密特（Gram–Schmidt）正交化程序。給定 A 的各欄向量 a₁、a₂、…，演算法會逐步建構出一組單位正交向量：
- 取出第一欄並將其正規化，得到 q₁。
- 對於後續的每一欄，先減去它在已計算出的各個 q 向量上的投影，再將剩餘部分正規化。
- R 的各元素為內積 r_{ij} = q_i · a_j；由於較早的 q 向量不會依賴於後面的欄，因此 R 為上三角矩陣。
實例演算
以 A = 1,1|0,1|1,0（一個 3×2 矩陣）為例。將第一欄正規化後得到 q_1 = (0.707,\ 0,\ 0.707)。將第二欄減去其在 q₁ 上的投影並正規化，便得到 q₂。最終得到的 Q 為正交矩陣，各欄皆為長度為 1 且互相垂直的單位向量，而 R 則保存了各個投影係數。將 Q × R 相乘即可還原原始矩陣 A，驗證分解的正確性。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。