什麼是二階 Runge-Kutta 法計算機？
本工具可在區間 [x0, xn] 上，從初始條件 y_0 = f(x_0) 出發，數值求解形如 y' = F(x, y) 的一階常微分方程式（ODE）。它採用二階 Runge-Kutta 法（即中點法），輸出一份 (x, y) 近似值表格，並算出終點解 y_n = f(x_n)。這是一項通用的數學工具，不受任何國家或法規限制，全球皆可使用。
使用方式
請將方程式右側的 F(x,y) 以含 x 與 y 的數學式輸入（例如 1-y^2、x*y 或 sin(x)+y）。接著填入初始點 x_0 與 y_0、區間終點 x_n，並選擇等分的份數 n。系統會將區間切成 n 等份，每一步的步長為 h = (x_n - x_0)/n。n 越大，步長越細，精確度也越高。至於「顯示精度」選項，僅用來控制畫面顯示的有效位數，並不影響實際計算。
公式解析
中點型 Runge-Kutta 法每次推進一步求解：
此法在每一步的中點估計斜率，藉此抵消主要誤差項。其局部截斷誤差為 O(h^3)，整體誤差為 O(h^2)，因此將 h 減半，誤差大約可降為原本的四分之一。
實例演算
求解 y' = 1 - y^2，其中 x_0 = 0、y_0 = 0、x_n = 1、n = 50（故 h = 0.02）。其精確解為 y = \tanh(x)。第 1 步：k_1 = 0.02 · (1-0) = 0.02；k_2 = 0.02 · (1-0.01^2) = 0.019998；y_1 = 0.019998。如此完成全部 50 步後，可得 y(1) ≈ 0.76159，與 \tanh(1) ≈ 0.7615942 在小數點後五位上完全吻合。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。