🛠️ 二階常微分方程的 RK2（二階 Runge-Kutta）數值求解器

本工具會在區間 [x0, xn] 上，以二階 Runge-Kutta 法（即中點法／改良型尤拉法的 RK2 格式）數值求解一個形如 y'' = F(x, y, y') 的二階常微分方程。你只需把方程右側的 F 寫成以 x、y 與 p（其中 p 代表 y'）為變數的算式，再給定初始值 y(x0)、y'(x0)、區間端點與步數即可。計算結果會列出整個區間上一連串 (x, y, y') 的數值表。由於這純屬數值分析，計算方法在世界各地完全相同，沒有地區差異。

請以 x、y、p 寫出強迫函數 F，例如要計算 y'' = -4y' - 4y，就輸入 -4*p-4*y。支援的運算子有 + - * / ^（或 **），函數則包含 sin、cos、tan、exp、log、ln、sqrt、abs、pow，並可使用常數 pi、e。接著設定 x0、初始的 y0 與 y'0 = p0、終點 xn，並選擇子區間數 n。步數越多，步長 h = (x_n - x_0)/n 越小，誤差也越低（全域誤差為 O(h^2)）。

首先令 p = y'，把方程降為一階系統，得到 y' = p 與 p' = F(x, y, p)。每一個 RK2 步驟都會分別在起點與中點取樣斜率，再加以結合：先算 j_1 = h · F(x,y,p)、k_1 = h · p，接著在中點計算 j_2 與 k_2，並用來推進 p 與 y。每一步的局部截斷誤差為 O(h^3)。

取 F = -4*p-4*y、x0 = 0、y0 = 0、p0 = 1、xn = 1、n = 50，則步長為 h = 0.02。第一步得到 y_1 = 0.0192、p_1 = 0.9224。一路迭代到 x = 1 時，可得 y(1) ≈ 0.13533、y'(1) ≈ -0.13533，與精確解 y = x · e^{-2x} 在 x = 1 處的值 e^{-2} = 0.135335 相當吻合。

這是 RK2 還是 RK4？本工具採用的是二階 Runge-Kutta（中點法），並非經典的四階方法，因此全域精度只到二階。

xn 可以小於 x0 嗎？可以。此時步長會變成負值，積分將往回（反向）進行，這在數學上是完全成立的。

為什麼出現了錯誤的列？當 F 內部發生計算問題時——例如除以零、對非正數取對數，或對負數開平方根——積分就會中止，並標示出發生的位置。