🛠️ 分數化簡計算機

分數化簡計算機可以把任何分數約分到最簡形式。你只要輸入分子與分母，工具就會回傳最簡的等值分數；若分數恰好可化為整數，則直接顯示整數。它支援正整數與負整數，也能妥善處理像「分母為 0」這類特殊情況。

• 分子——分數上方的數字（留空時預設為 4）。
• 分母——分數下方的數字（留空時預設為 12）。

兩個欄位都接受整數，包含負數。如果分母輸入 0，計算機會顯示「未定義（除以零）」，因為除以零並沒有結果。

化簡分數的意思，就是把分子和分母同時除以它們的最大公因數（GCD）：

分子 / 分母 =（分子 ÷ GCD）/（分母 ÷ GCD）

計算機採用輾轉相除法（歐幾里得演算法）來求最大公因數——不斷以兩數相除的餘數取代較大的數，直到餘數為 0 為止。接著再把分子與分母同時除以這個最大公因數。工具還會幫你整理正負號：如果化簡後的分母是負的，就會把分子和分母的符號一起翻轉，讓負號留在分子上。當化簡後的分母等於 1 時，則只顯示整數。

以預設值為例：分子 4、分母 12。

• 4 與 12 的最大公因數是 4。
• 分子：4 ÷ 4 = 1
• 分母：12 ÷ 4 = 3
• 結果：1/3

再看一個例子：8/2 的最大公因數是 2，化簡後得到 4/1，計算機會直接顯示為 4。

化簡（或約分）分數是指將其改寫為等價分數，其分子和分母除了1以外沒有公因數。數值永遠不變——只是寫法改變。這種可靠的方法適用於任何整數對，無論多大：

1. 注意符號，然後用絕對值計算。如果任一數字為負，暫時忽略負號，將 |分子| 和 |分母| 視為正整數來化簡。（分母為0時無定義——分數沒有值。）
2. 使用歐幾里得算法求最大公因數(GCD)。用較大的數除以較小的數，保留餘數；用餘數替換較大的數；重複直到餘數為0。最後一個非零餘數就是GCD。
3. 將分子和分母都除以GCD。
   ((a) ÷ (b))=((a ÷ \gcd(a,b)) ÷ (b ÷ \gcd(a,b)))
   分子和分母同時除以同一個數會得到等價分數。
4. 將負號放在分子上。標準寫法是 -\tfrac{3}{4} 或 \tfrac{-3}{4}，不是 \tfrac{3}{-4}。如果分子和分母都是負數，結果是正數。
5. 如果分母變成1，寫成整數。例如 \tfrac{18}{6}=\tfrac{3}{1}=3。

完整步驟：化簡84/36

第2步——對84和36進行歐幾里得算法：

1. 84 = 2 × 36 + 12  （餘數12）
2. 36 = 3 × 12 + 0  （餘數0——停止）

最後一個非零餘數是12，所以 \gcd(84,36)=12。第3步——將分子和分母都除以12：

所以84/36化為最簡形式是 7/3。因為7 > 3，結果仍然是假分數；如果要寫成帶分數，7 ÷ 3 = 2 餘 1，所以 \tfrac{7}{3}=2\tfrac{1}{3}。

小數字的替代方法：質因數分解

對於能在腦中因數分解的數字，將每部分寫成質數的乘積並消去相同的因數：84 = 2 × 2 × 3 × 7 和 36 = 2 × 2 × 3 × 3。共同的因數是 2 × 2 × 3 = 12；消去它們後得到 \tfrac{7}{3}——相同的答案。質因數分解很直觀，但對大數字會變得很慢，這正是歐幾里得算法發光發熱的地方：即使是六位數的輸入也只需要幾次除法。