什麼是第二類斯特林數？
第二類斯特林數記作 S(n,k)（也常寫成 {n 上 k} 或 S_2(n,k)），用來計算把一個含 n 個「有標記」（可區分）元素的集合，分割成恰好 k 個「非空且無標記」子集（稱為區塊，block）的方法數。本計算器會一次算出整列數值：固定 n 後，依序列出 k = 0, 1, 2, \ldots, n 的所有 S(n,k)，也就是斯特林三角形第 n 列的每一項。這是純數學中的組合量，與任何國家或地區無關，全世界通用。
使用方法
輸入一個非負整數 n（集合中的元素個數）後送出即可。工具會回傳一張兩欄表格，分別列出 k 與 S(n,k)，並附上該列總和，也就是貝爾數 B(n)，可方便你快速驗算結果是否正確。所有數值皆以任意精度大整數運算，因此即使數字大到遠超過 64 位元整數所能容納的範圍（大約在 n = 20～25 時就會發生），結果仍然完全精確。
公式說明
最穩定的算法是遞迴式
S(n,k) = k· S(n-1,k) + S(n-1,k-1)
由基底 S(0,0) = 1 逐步建立。邊界值為：當 n ≥ 1 時 S(n,0) = 0；S(n,n) = 1；當 n ≥ 1 時 S(n,1) = 1；當 k > n 時 S(n,k) = 0。此外還有一個顯式封閉公式 S(n,k) = ((1) ÷ (k!)) · \sum (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^n
但用浮點數計算時會產生嚴重的相消誤差，因此本工具改採以精確整數運算的遞迴式。
實例演算（n = 5）
第 5 列為：k=0 \to 0、k=1 \to 1、k=2 \to 15、k=3 \to 25、k=4 \to 10、k=5 \to 1。以第 4 列 = [0,1,7,6,1] 來驗算：
S(5,2) = 2· 7 + 1 = 15
S(5,3) = 3· 6 + 7 = 25
S(5,4) = 4· 1 + 6 = 10
整列總和為 0+1+15+25+10+1 = 52，正好等於貝爾數 B(5) = 52。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼當 \(n \ge 1\) 時 \(S(n,0) = 0\)？
因為你無法把一個非空集合分割成零個區塊；只有空集合才有「空分割」，因此 \(S(0,0) = 1\)。
列總和代表什麼？
把所有 \(k\) 的 \(S(n,k)\) 加總起來，就會得到貝爾數 \(B(n)\)，也就是 \(n\) 元素集合的所有分割方式總數。
n 最大可以多大？
本工具最多支援到 \(n = 200\)；雖然數值會變得非常龐大，但拜大整數運算之賜，結果依然精確無誤。