什麼是學生 t 分配計算器？
這個工具會根據你輸入的數值 x（即 t 統計量）與自由度 \nu，計算學生 t 分配的相關數值。它會回傳三個結果：機率密度 f(x)、下尾累積機率 P(T ≤ x)，以及上尾累積機率 Q = P(T > x) = 1 - P。由於這完全屬於純數學運算，因此放諸四海皆準，不受任何地區或國家的規定影響。
使用方法
在 x 欄位輸入任意實數（可以是負數），並在自由度 \nu 欄位輸入一個正數（常見的是整數，例如 5、10 或 30，但只要 \nu > 0 的任何數值都可以接受）。按下計算後，即可得到機率密度與兩側尾端的機率值。當自由度 \nu 越來越大時，t 分配會逐漸收斂為標準常態分配 N(0, 1)。
公式解析
機率密度的公式為
f(x) = ((\Gamma\!≤ft(((\nu+1) ÷ (2))\right)) ÷ (√(\nuπ) \Gamma\!≤ft(((\nu) ÷ (2))\right)))≤ft(1 + ((x^{2}) ÷ (\nu))\right)^{-((\nu+1) ÷ (2))}
其中 \Gamma 為伽瑪函數（gamma function）。累積機率則運用正規化不完全 beta 函數來計算：令 z = \nu/(\nu + x^{2})，當 x ≥ 0 時 P(T ≤ x) = 1 - \tfrac{1}{2}· I_{z}(\nu/2, 1/2)；當 x < 0 時則為 \tfrac{1}{2}· I_{z}(\nu/2, 1/2)。為了確保數值穩定，我們以 Lanczos 對數伽瑪近似法在對數空間中計算密度，並透過 Lentz 連分數法求出不完全 beta 函數。
實際範例
以 x = 1.0、\nu = 10 為例：機率密度 f(1) ≈ 0.2304。下尾累積機率 P(T ≤ 1.0) ≈ 0.8303，因此上尾累積機率 Q ≈ 0.1697，這個結果與標準的 t 分配表完全吻合。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
自由度 \(\nu\) 可以是非整數嗎？
可以。這個公式對任何 \(\nu > 0\) 的實數都成立，本計算器也接受帶有小數的自由度。
上尾累積機率代表什麼意思？
它指的是右側尾端的面積，也就是 \(P(T > x)\)。如果你要計算正值 x 的雙尾 p 值，則應使用 \(2\cdot Q\)。
為什麼自由度很大時，曲線看起來像常態分配？
隨著自由度增加，t 分配那較厚的尾端會逐漸收縮，使整體形狀趨近於標準常態分配。