這個計算器的功能
本工具可針對任意自由度 \nu > 0 計算並繪製學生t分配（Student's t-distribution）。你可以從三種量值中擇一：機率密度 f(x,ν)、下累積機率 P(x,ν)（即 CDF），或上累積機率 Q(x,ν) = 1 − P。計算器會在你設定的範圍內建立一組 (x, 數值) 對應表，並據此繪製折線圖。
使用方法
先選擇函數（密度、下累積或上累積），輸入自由度 \nu，接著設定起始的 x 值、相鄰兩點之間的增量（步長），以及重複次數（要產生多少個點）。各點為 x_k = startX + k·stepX，其中 k = 0..iterations-1。採用預設值（起始 -5、步長 0.1、共 101 點）時，x 會從 -5 跑到 +5。
公式說明
機率密度為
f(x,\nu) = ((\Gamma\!≤ft(((\nu+1) ÷ (2))\right)) ÷ (√(\nuπ) \Gamma\!≤ft(((\nu) ÷ (2))\right)))≤ft(1+((x^{2}) ÷ (\nu))\right)^{-((\nu+1) ÷ (2))}
。為了在 \nu 很大時仍保持數值穩定，我們透過對數伽瑪函數（log-gamma）來計算這些伽瑪因子。累積機率則使用正規化不完全 beta 函數 I_z(\nu/2, 1/2)，其中 z = \nu/(\nu+x^{2})：當 x ≥ 0 時，P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z；當 x < 0 時，P = \tfrac{1}{2}I_z。由對稱性可知 P(0,\nu) = 0.5。
實例演算
以密度、\nu = 2、x = 0 為例：(1 + 0/2)^{-1.5} = 1，且 B(1/2, 1) = 2，因此
f(0,2) = ((1) ÷ (√(2) · 2)) = 0.353553
。再以下累積、\nu = 2、x = 0 為例，由於分配對稱，故 P(0,2) = 0.5、Q(0,2) = 0.5。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
當 \(\nu\) 越來越大時會發生什麼？
t 分配會逐漸趨近標準常態分配 \(N(0,1)\)；例如 \(f(0,\nu)\) 會趨近 \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894\)。
增量可以是負數嗎？
可以。負步長會讓 x 遞減；步長為零則會重複同一個 x 值。
為什麼 \(\nu\) 必須是正數？
因為 \(\sqrt{\nu}\) 與 \(\Gamma(\nu/2)\) 這兩個因子都要求 \(\nu > 0\)；非正值對此分配而言並無定義。