什麼是平方和？
前 n 個正整數的平方和，就是把 1 到 n 之間每個整數各自平方後再全部加起來：1² + 2² + 3² + … + n²。與其逐項相加，你其實可以套用一條著名的封閉公式，不論 n 有多大，都能一步算出答案。
公式解析
這條簡潔的恆等式為：
\sum_{k=1}^{n} k^2 = ((n≤ft(n+1\right)≤ft(2 n+1\right)) ÷ (6))
其中 n 是數列中最大的整數。把 n 乘以 (n+1) 再乘以 (2n+1)，最後除以 6 即可。由於這三個因數的乘積必定能被 6 整除，所以結果一定是整數。本計算機同時會列出相關的整數和 n(n+1)/2，以及平方的平均值。
如何使用本計算機
輸入上限 n——也就是數列中的最後一個整數——工具就會立即回傳精確的平方和。你可以用它來檢查作業、驗證程式碼，或加快統計計算的速度，因為平方和會出現在變異數、標準差與迴歸分析等公式中。
實例演算
假設 n = 5，各項為 1、4、9、16、25，加總後為 55。套用公式：
((5 × 6 × 11) ÷ (6)) = ((330) ÷ (6)) = 55
封閉公式的結果與直接相加完全吻合。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
任何 n 都適用嗎？
是的——只要是正整數 \(n\) 都可以。即使是非常大的數值，靠這條公式也能瞬間算出。
為什麼要除以 6？
乘積 \(n(n+1)(2n+1)\) 必定是 6 的倍數，因此公式的結果一定是整數。
可以把 0 算進去嗎？
由於 \(0^2 = 0\) 不會改變總和，所以不管有沒有把零算進去，\(n\) 對應的結果都一樣。