什麼是 Tanh-Sinh 求積法？
Tanh-Sinh 求積法又稱為雙重指數（Double Exponential，簡稱 DE）法則，是一種數值積分方法，特別擅長計算有限區間 [a, b] 上的定積分——尤其當被積函數在端點處出現奇異性時更能展現威力。它的原理是套用變數變換 u = \tanh\!≤ft(\tfrac{π}{2}\sinh(t)\right)，將兩端點對應到 t = ±\infty。在這些端點附近，被積函數的貢獻會以雙重指數的速度衰減，因此即便函數在 a 或 b 處發散（例如 \tfrac{1}{√(1-x^2)}），仍能精確積分。本工具屬於通用數學，放諸四海皆準。
使用方法
請以標準寫法輸入函數 f(x)（運算子可用 + - * / ^、括號，以及 sin、cos、exp、log、sqrt、abs 等函數，並支援常數 pi 與 e）。接著填入積分下限 a、上限 b，以及控制節點密度的細分數 n。n 越大精度越高，但計算量也隨之增加；實務上 50 至 400 是常見的範圍。被積函數在開區間上必須是解析的（端點奇異性無妨），且不可為週期函數。
公式說明
首先以 x = \tfrac{b-a}{2}u + \tfrac{a+b}{2} 及 dx = \tfrac{b-a}{2} du 將區間正規化為 [-1, 1]。DE 法則接著使用節點 t_k = k h、橫座標 u_k = \tanh\!≤ft(\tfrac{π}{2}\sinh(t_k)\right)，以及權重 w_k = \dfrac{\tfrac{π}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!≤ft(\tfrac{π}{2}\sinh(t_k)\right)}。積分近似值為
實例演算
計算 f(x) = \exp(-x^2) 在 [0, 1] 上的積分。精確值為 \tfrac{√(π)}{2}·erf(1) ≈ 0.7468241。即使採用較粗的步長（h = 0.5、N = 4），本法則也已能得出約 0.7467；若使用預設的 n = 100，則精確度可達約十二位數。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。