什麼是馮·米塞斯分布？
馮·米塞斯分布（von Mises distribution）是常態（高斯）分布在圓周上的對應版本，專門用來描述圓上的角度或方向。它由兩個參數決定：平均方向 \mu 與集中度參數 \kappa。當 \kappa 很大時，分布會緊密地集中在 \mu 附近；而當 \kappa = 0 時，分布就退化成圓周上的均勻分布。這個計算器是通用的數學工具，適用於任何地區，全程以弧度（radian）為單位。
如何使用本計算器
先選擇你想求的量：機率密度 f、下累積機率 P（即累積分布函數 CDF），或上累積機率 Q = 1 - P。接著輸入平均方向 \mu（弧度）、集中度 \kappa ≥ 0，以及要計算的角度 x（弧度）。按下計算後，三個數值會一併顯示，並將你所選的項目特別標示出來。
公式解析
機率密度函數為
f(x; \mu, \kappa) = ((e^{\kappa\cos≤ft(x - \mu\right)}) ÷ (2π I_{0}\!≤ft(\kappa\right)))
其中 I_0(\kappa) 是零階第一類修正貝索函數（modified Bessel function），可由收斂級數 I_0(\kappa) = \sum (((\kappa/2)^{2m}) ÷ ((m!)^2))
計算而得。累積機率 P(x) 是 f 從 \mu-π 積分到 x 的結果；本計算器會先將 z = x - \mu 折繞（wrap）到 [-π, π] 區間，再以辛普森法（Simpson's rule）分成 2000 個子區間進行積分，因此 P 從 z = -π 時的 0 變化到 z = +π 時的 1。Q 則直接由 1 - P 求得。
實際範例
令 \mu = 0、\kappa = 1、x = 0。此時 I_0(1) ≈ 1.2660658778，且 \cos(0) = 1，所以 e^1 = 2.71828。機率密度為
f = ((2.71828) ÷ (2π · 1.26607)) ≈ 0.3417
（每弧度）。由於 f 對 \mu = 0 呈對稱，恰好有一半的機率質量落在 x = 0 以下，因此 P(0) = 0.5、Q(0) = 0.5。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
機率密度的單位是什麼？
機率密度函數（PDF）的單位是 1/弧度，因為它在 \(2\pi\) 弧度的整個圓周上積分後等於 1。
當 \(\kappa = 0\) 時會怎樣？
分布會變成圓周上的均勻分布：對所有 \(x\) 而言 \(f(x) = 1/(2\pi) \approx 0.159155\)，而 \(P(x)\) 則呈線性遞增。
可以輸入 \([\mu-\pi, \mu+\pi]\) 範圍以外的 \(x\) 嗎？
可以。機率密度對 \(x\) 具有 \(2\pi\) 的週期性，計算 CDF 時也會先把 \(z = x - \mu\) 折繞到 \([-\pi, \pi]\) 區間再進行積分。